Arithmétique des résistances

quelle est l’association la plus simple de résistances standardisées pour atteindre une résistance cible avec une précision donnée ?

Une seule résistance, à cause de la conception des séries. Par exemple, en série E12 donnée pour ±10%, la résistance notée 470 Ω peut voir sa valeur réelle se promener n’importe où entre 423 Ω et 517 Ω. La valeur précédente de la série, 390 Ω peut monter jusqu’à 429 Ω, et la suivante, 560 Ω peut en fait descendre jusqu’à 504 Ω. Il y a bien recouvrement des valeurs selon les tolérances, et aucun trou dans la série.

Donc normalement, si tu as besoin d’une précision supérieure, soit tu tapes dans les séries de plus haute tolérance, soit il faut que tu sortes un multimètre et que tu vérifies ce que tu as réellement comme résistance en pratique dans ton matériel.

Sachant qu’il y a des astuces. Par exemple, la série E12 n’est plus fabriquée, les résistances marquées en tolérance ±10% sont en fait extraites de la série E24, donc même en mesurant l’intégralité de celle que tu as à disposition, tu ne trouveras jamais les valeurs intermédiaires (430 Ω ou 510 Ω dans l’exemple précédent) : tu n’auras pas d’autre choix que d’en associer deux, ou de prendre une résistance de la série E24.

PS : le problème peut devenir intéressant si tu peux indiquer au programme « voici les résistances dont je dispose réellement » (valeurs et tolérances), parce qu’associer des résistances dont tu ne connais pas les valeurs réelles (dont tu as uniquement la valeur théorique et la tolérance) va avoir des effets de bords assez amusants sur la tolérance de la valeur finale.

H.S. mais au vu de la complexité de dessiner des résistances en parallèle / série (la même que j’ai eue pour représenter la pile d’exécution dans mes articles), vous avez envisagé d’utiliser quelque chose pour générer des beaux schémas ? Un peu comme avec KaTeX et MathJax ?

@Ge0 : J’ai voulu éviter Inkscape et faire ça vite fait en texte. En pratique, j’y ai passé plus de temps, mais au moins j’ai pas eu de fichiers séparés à gérer. Sinon, intégrer un outil pour décrire textuellement des schémas est une idée qui est régulièrement remise sur la table sur le site. Si on pouvait embarquer du SVG directement dans zmarkdown, ça serait parfait pour moi ceci dit.

@SpaceFox : J’avais en tête de le faire d’un point de vue purement mathématique, c’est-à-dire en considérant des résistances parfaites sur une échelle standardisée (ou quelconque à vrai dire). Du coup, ça ressemble à ce que tu décris avec les valeurs exactes. Le but n’est clairement pas de faire de la conception.

En fait je te demande ça parce que j’ai découvert tikz sur LaTeX et que je trouve cet outil assez puissant. Je ne sais pas s’il est possible d’utiliser des packages LaTeX pour générer des images ceci dit (il ne faut pas trop pousser, j’ai simplement effleuré la chose).

@Ge0 tu veux dire quelque chose comme ceci ? http://www.texdoc.net/texmf-dist/doc/latex/circuitikz/circuitikzmanual.pdf

Exactement ça ! Et je n’étais même pas certain qu’il y avait une variante pour dessiner des circuits électroniques sous $\LaTeX$ !

Merci pour la référence.

Et est-ce que tu as une méthode pour calculer la résistance équivalente associée à n’importe quel "circuit" de résistances (par exemple, modélisé par un graphe fini où tu distingues deux nœuds en particulier) ?

Il y a une interprétation amusante de la résistance équivalente quand on étudie les marches aléatoires sur les graphes. Je considère un graphe orienté $G$ dont je distingue deux nœuds $x$ et $y$. Toutes les arêtes $e$ de $G$ sont étiquetées par une "conductance" $c_e\ge 0$.

Maintenant je regarde la marche aléatoire suivante : $X_0=x$ et si $X_n=u$, je choisis $X_{n+1}$ comme étant un voisin $v$ de $u$ de manière proportionnelle à $c_{uv}$ (formellement $\mathsf{P}(X_{n+1}=v\mid X_n=u)=c_{uv}/\sum_{w:(u,w)\in E} c_{uw}$). Je définis $(Y_n)$ exactement de la même manière, mais avec $Y_0=y$ au lieu de $x$. Il se trouve qu’alors, la résistance équivalente $R$ de mon circuit entre $x$ et $y$ vérifie l’équation suivante (cf. théorème 5 de ces notes par exemple) :

$R\sum_{e\in E} c_e=\mathsf{E}\left[\inf \{n\ge 0 : X_n=y\}\right]+\mathsf{E}\left[\inf\{n\ge 0 : Y_n=x\}\right].$

(Le membre de droite peut aussi être vu comme l’espérance du premier temps où, en partant de $x$, on revient à $x$ après être passé par $y$.) Est-ce que cette formule a une interprétation physique ? (par exemple au niveau du trajet des électrons ?)

Et est-ce que tu as une méthode pour calculer la résistance équivalente associée à n’importe quel "circuit" de résistances (par exemple, modélisé par un graphe fini où tu distingues deux nœuds en particulier) ?

Si tu as un réseau fini quelconque de résistance, tu peux appliquer les lois des nœuds et des mailles. C’est faisable de manière systématique et ça se résout ensuite très bien avec les outils de l’algèbre linéaire.

Il y a une interprétation amusante de la résistance équivalente quand on étudie les marches aléatoires sur les graphes.

Le lien entre les réseaux électrique et les marches aléatoires est vraiment amusant. Il y a même un bouquin entier sur le sujet (et facile à lire !), dont je parlais dans un billet.

Je ne suis pas sûr qu’il y ait d’interprétation physique intéressante. Les lois des nœuds et des mailles, dont découlent tout le reste, résultent essentiellement des équations de Maxwell, où tout est déterministe. Après les paramètres principaux de ses équations peuvent eux-mêmes être expliqués par de la physique au niveau microscopique où on retrouve des proba, mais je ne saurais pas détailler plus sans risque de dire des âneries.