C'est toi l'auteur, moi je pense que non. Après voilà la version que je propose afin que tu te rendes compte de quoi je veux parler. Peut-être que ce n'est pas la bonne solution, au moins j'aurai été un peu plus clair sur mon point de vue.
Il y a moins de calculs, c'est assumé. Cela force le lecteur à lire les calculs (souvent c'est passé trop rapidement quand c'est trop long) et à faire attention aux détails. Ce n'est pas particulièrement long …
Formule du binôme
Soient $(a,b)\in \mathbf{C}^2$ et soit $n$ un entier naturel. Nous allons démontrer le résultat suivant :
$$ (a+b)^{n} = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^kb^{n-k}.$$
Procédons par récurrence sur $n\in \mathbf{N}$. Pour $n=0$ l'identité est vérifiée.
Supposons que l'identité est vraie pour un certain $n\in\mathbf{N}$. On a :
$$(a+b)^{n+1} = (a+b)\cdot (a+b)^{n}$$
et donc par hypothèse de récurrence :
$$ (a+b)^{n+1} = (a+b)\cdot\left( \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^kb^{n-k}\right) = \left(\sum_{k=0}^n\binom{n}{k} a^{k+1}b^{n-k}\right) +\left(\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{k}b^{n-k+1}\right). $$
Par un changement d'indice de la première somme on obtient : $$(a+b)^{n+1} = \left(\sum_{k=1}^{n+1}\binom{n}{k-1} a^{k}b^{n-k+1}\right) +\left(\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{k}b^{n-k+1}\right). $$ Il s'agit maintenant de rassembler convenablement les termes. Si on exclut les termes pour les indices non compris entre $1$ et $n$ et si on rassemble les autres on a : $$(a+b)^{n+1} = a^{n+1} + b^{n+1} + \sum_{k=1}^n \left[\binom{n}{k-1}+\binom{n}{k} \right]a^kb^{n-k+1} . $$
De plus, l'égalité $$ \binom{n}{k-1}+\binom{n}{k} = \binom{n+1}{k} $$pour tous $0\leq k \leq n$,
permet de conclure : $$(a+b)^{n+1} = a^{n+1}+b^{n+1} + \sum_{k=1}^n \binom{n+1}{k}a^kb^{n+1-k} $$cela montre que la propriété considérée est vraie pour l'entier $n+1$.
Finalement, la propriété est héréditaire et est vraie pour $0$. Elle est donc vraie pour tout $n$ entier naturel.
