Dans les deux cas, on parle bien d'intérieur.
La boule ouverte c'est l'intérieur du disque dont la frontière est en orange. C'est aussi l'intérieur au sens usuel du terme.
La boule ouverte c'est l'intérieur du disque dont la frontière est en orange. C'est aussi l'intérieur au sens usuel du terme.
Oui mais tu ne parles pas du disque, seulement du cercle. Or l'intérieur (au sens topologique) d'un cercle est vide, non ?
D'ailleurs, est-ce bien un disque ? Le fait que la sphère n'est pas plane ne joue-t-il pas ?
C'est topologiquement (et même à difféomorphisme près) un disque.
Je ne parle pas du disque, parce que j'utilise l'expression commune. Le but du dessin c'est d'être un peu moins formel. Et puis si quelqu'un se pose la question et s'il a bien lu les lignes précédentes ça ne devrait pas poser de problème.
Je vais quand même rajouter une précision, même si je trouve ça dommage.
Mais, oui, l'intérieur d'une frontière est vide, par définition.
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Tu as mis quoi à jour ?
Une précision sur la boule ouverte centrée en $a$ sur la sphère.
Fonctions holomorphes sur la sphère :
Cela nous permettra de montrer un résultat surprenant : l'ensembles des fonctions holomorphes de la sphère de Riemann
ensemble
Alors que dans le corps des nombres complexes, une fonction holomorphe peut être transcendante, on pensera notamment à l'exponentielle.
Ca fait bizarre. Plutôt : "Alors que dans le corps des nombres complexes, une fonction holomorphe peut être transcendante, comme c'est le cas de l'exponentielle.".
La sphère en tant que surface de Riemann :
Nous allons enfin parler surface de Riemann. Vous l'attendiez probablement depuis le début de ce tutoriel, on peut enfin aborder le sujet.
Les deux phrases se répètent un peu.
Cela peut ne pas vous paraître très clair, je vais donc détailler les étapes
Plutôt : "Cela peut ne pas vous paraître très clair, donc je vais détailler les étapes". Quoique…
et entre Ĉ−{∞} et C
Euh, $\hat{\mathbf C} − \lbrace \infty \rbrace = \mathbf C$, non ?
Tout comme en géographie une carte n'est valable que dans une certaine zone
"Tout comme en géographie, une carte n'est valable que dans une certaine zone".
vous n'avez jamais toute la Terre bien dessinée une même carte
sur
Le passage d'une carte à l'autre est aussi à étudier
Ca marche, mais je mettrais plutôt "ainsi". Ou alors : "Aussi, le passage d'une carte à l'autre est à étudier".
avec les conventions 1/∞=0 et 1/0=∞.
Le $1/0$ n'intervient pas, si ?
c'est-à-dire, qui ne contienne pas simultanément les deux pôles
La virgule ne me semble pas nécessaire.
Il va me falloir un peu de temps avant de bien comprendre cet extrait : les notions mathématiques de base, i.e. celles énoncées dans le chapitre 1, me sont peu familières.
Euh, Ĉ −{∞}=C, non ?
Yup mais c'est pour insister sur le fait qu'on prend la sphère moins un pôle.
Le 1/0 n'intervient pas, si ?
Si quand je cite l'application $x\mapsto 1/x$ sur $\hat{\mathbf{C}}$ par exemple.
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J'ai ajouté deux images dans la partie sur la topologie de $\mathbf{C}$. Elles sont bien ? Je les laisse ?
Elles me semblent trop sophistiquées.
Il serait préférable pour les voisinages d'illustrer les trois cas les plus intuitifs : dans $\mathbf R$, $\mathbf R^2$ et $\mathbf R^3$.
Pour la compacité, le caractère borné se représente bien avec une patate. Par contre, pour la fermeture…
C'était de toute façon juste un test, je vais revenir à la version précédente.
Il n'empêche que j'ai toujours besoin d'un illustrateur pour ces notions.
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Pour la compacité, le caractère borné se représente bien avec une patate. Par contre, pour la fermeture…
Une patate avec la peau ? 
C'est pas bête. Non, vraiment. On pourrait s'inspirer des schémas qu'on fait de la croute terrestre.
Sinon, je pense qu'il manque des exemples et contre-exemples dans le chapitre "Outils d'analyse complexe". Des exemples et contre-exemples de :
Encore une fois, le premier chapitre est censé rappeler des notions déjà connues. Comme elles sont nombreuses, j'évite de trop prendre de place pour les illustrer.
déjà connues
Ah.
Développer un peu cette partie te permettrait d'élargir ton lectorat et de constituer une base pour un cours plus approfondi sur la question, non ?
C'est censé venir de deux autres cours que j'ai pas commencé à traiter : topologie et analyse complexe. Oui, y a du boulot.
Ouep, mais ça peut faire l'affaire en attendant, non ? Surtout que ça ne me semble pas long à faire : il suffit d'ajouter quelques exemples. 
Pourquoi les lecteurs curieux mais un peu largués ne pourraient-ils pas, à titre temporaire, aller consulter les pages Wikipédia idoines ?
Pourquoi les lecteurs curieux mais un peu largués ne pourraient-ils pas, à titre temporaire, aller consulter les pages Wikipédia idoines ?
C'est l'idée.
Ouep, mais ça peut faire l'affaire en attendant, non ? Surtout que ça ne me semble pas long à faire : il suffit d'ajouter quelques exemples.
Il y a beaucoup de notions, ça fait beaucoup à illustrer et je sais pas si on est gagnant d'avoir un discours bien plus long alors qu'il est destiné à des gens déjà un peu connaisseurs. Je rappelle tout de même que la suite du tutoriel n'est pas non plus facile, si je fais beaucoup d'exemples au début je vais devoir revoir le reste pour garder quelque chose d'homogène dans la difficulté. Or le texte que j'ai mis est déjà très simple (vous vous en rendez peut-être pas compte), et je pense pas qu'on puisse le rendre encore plus accessible.
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Ajout de nombreux dessins dans la première partie et j'ai refait les dessins de la seconde. Je vous laisse me dire ce que vous en pensez, ce qu'il faudrait retoucher (si nécessaire).