Suites et séries

Bonjour à tous,

Voici un tutoriel, rédigé avec l'aide d'Holosmos et de Vayel sur les Suites et séries. Celui-ci tente de faire découvrir les suites et série d'une manière assez intuitive, inductive, et est à destination de débutants qui ne connaissent pas énormément de choses en mathématiques. Il se concentre, pour le moment, sur les suites et séries de nombres réels, même s'il sera complété par la suite (haha) pour parler des suites et séries de fonctions, et éventuellement les suites et séries complexes.

Si vous voyez des choses à ajouter ou à corriger, faites-le moi savoir. J'aimerais notamment inclure un petit peu de mathématiques "récréatives" dans le tutoriel, histoire d'égayer le tout.

Yop,

y'a un truc qui me chiffonne sur votre définition des séries. Il est écrit que la série est la somme $\sum_{n=0}^\infty u_n$, mais pour moi çça c'est la somme de la série, càd la valeur numérique de la limite de la somme partielle associée à la série. La série (d'après mes cours) est l'objet formelle $\sum u_n$, la "somme formelle de tous les termes de la suite $u_n$, et la définition est complètement distincte de la notion de limite.

Après je fais peut-être un caca nerveux pour rien, voire que je me trompe ; c'est peut-être un choix pour alléger les explications et faciliter la compréhension mais ça me démange trop pour ne pas faire remonter cette remarque .

Ne serait-il pas judicieux de mettre l'introduction du chapitre sur les suites numériques dans un extrait ?

Il manque le mathjax pour beaucoup de $n$ isolés dans le texte.

Sinon avant que je rentre dans des détails, les $\times$ ne sont pas carrément en trop ? D'ailleurs il n'y en a pas partout, du coup ce n'est pas cohérent ..

Salut,

J'ai juste lu en diagonale la première partie et j'ai trouvé une petite coquille. Dans le chapitre Sommes partielles - Sommes des n premiers entiers il y a 100 + 4 = 101, il faudrait remplacer le 4 par 1 (obviously). Sinon pour l'instant je trouve ça bien rédigé, ça se lit bien

Je ne réponds qu'aux remarques non encore corrigées.

La partie sur les suites arithmétique me semble un peu long par rapport aux parties sur les suites linéaire. Je vois mal la complexité supplémentaire qui justifie cela.

En effet. Il serait peut-être judicieux d'expliciter $u_n$ en fonction de $n$ dans le cas des suites linéaires puis de dire qu'une suite arithmétique c'est juste ça plus un réel (le premier terme).

Dans le dernier tableau (sur la convergence des suites monotones). Comment une suite monotone peut-elle n'avoir aucune borne ? Le 1er terme est forcement un minimum ou un maximum.

C'est vrai. Je ne sais pas trop si ç'a été corrigé.

Mais de toute manière, ce tableau est faux : un majorant d'une suite croissante n'est pas nécessairement limite de cette suite. Par exemple, si ma suite croissante converge vers 5, 10 en est un majorant mais pas limite.

Je pense que c'est un problème de vocabulaire : remplacer majorant par borne supérieure convient.

Merci !

Bonjour, je suis en train de lire et dès le début je trouve ça très compliqué pour un débutant non averti (genre un lycéen). Je trouve ça visible dans le deuxième paragraphe qui manque de points pour faire une pause :

La définition formelle d'une suite ne fait que reformuler ce qui suit : on prend des objets mathématiques appartenant à un ensemble et on leur attribue à chacun un numéro, c'est-à-dire un nombre entier naturel : ce numéro permet de mettre ces entités dans l'ordre voulu. Ce numéro est appelé l'indice ou le rang et dans ce qui suivra, nous noterons généralement un le terme de rang n alors que la suite en elle-même sera notée $(un)n∈A$, où A est l'ensemble des indices de la suite (c'est un sous-ensemble de l'ensemble des entiers naturels, N).

Dans l'introduction avec les dessins, tu parles de $u_n = f(n)$ ou encore $u_n = f(u_{n-1})$ pourrais tu donner quelques exemples ? Pour quelqu'un qui n'ait pas habituer aux maths, c'est un peu trop formel je trouve.

Dans la partie suite linéaire : Serait-ce possible d'expliquer comment on passe de $u_n = kn$ à $u_{n+1} = u_n + k$. De plus tu n'avais jamais utilisé la notation $u_{n+1} = f(u_n)$ mais $u_{n} = f(u_{n-1})$. Ca paraît évident mais un tutoriel sur les suites est adressé aux débutants donc il me semble nécessaire d'expliquer un maximum de chose

On peut remarquer que le premier terme d'une suite linéaire est toujours nul.

Tu dis ça après avoir donner l'écriture : $u_{n+1} = u_n + k$, et ça ne saute pas aux yeux que c'est toujours nul.

Suite arithmétique de raison 3 et premier terme 2.

Définis ce qu'est la raison et le premier terme pour une suite récurente ;). Tu passe beaucoup de l'écriture récurrente à l'écriture non récurrente, un débutant risque de se perdre

[…] nombres pairs a 0 comme premier terme, alors que la suite des nombres impairs commence à 1.

Ca pourrait être un peu plus lisible de mettre le 0 et le 1 en $0$ et $1$

<HS>

vous touchez environ 2 à 3 % de la somme présente sur votre compte en intérêts

Si seulement </HS>

Vu que $u_n = u_0 × k_n$, et $u_m = u_0 × k_m$, on a […]

Il faudrait préciser que $u_n$ ne dois pas être nul dans la formule suivante.

Je me suis arrêté à cette partie je ferais la suite plus tard !

Cependant, que tu ne vois pas tout rouge sur mon post, j'apprécie beaucoup la manière dont tu démontre le calcul du terme $n$ des suites géométrique/arithmétique à partir de $u_0$ ! Dans l'ensemble c'est très compréhensible mais je pense que ça pourrait être plus accessible

Bon courage et si besoin je suis prêt à aider

J'ai aussi parcouru la partie suites numériques et je la trouve inconsistante. De part le titre, j'en déduis que vous voulez faire une introduction à ces notions, hors pour une introduction ca me parait un peu confus.

Définition formelle : Une suite c'est une application de N de E, ni plus ni moins, pas besoin de phrases dithyrambiques.

Sur les exemples : contentez vous des suites constantes (même si l'intérêt de ces suites est limité), des suites arithmétiques et géométriques. Vous serez de cette façon bien plus proche de ce que les élèves peuvent voir en France. Je dirais aussi qu'il manque la définition par morceaux (genre $u_{2n}$ et $u_{2n+1}$ )

Par ailleurs, vous parlez de suite croissante ou décroissante alors que c'est défini plus bas. Je suis par ailleurs assez pour avoir ces 2 types de suites en tant qu'exemple en filigrane. Nouvelle notion sur les suites (croissance, monotoie, limite) Comment se comportent les suites arithmétiques et géométriques ?

N'introduisez pas entre 2 paragraphes les opérations sur les suites comme des fourbes. Vous le faites 2 fois (addition, soustraction) comme si c'était évident. C'est mieux d'en faire un paragraphe à part ! Vous pouvez dire que suite récupère gratuitement les opérations définies sur les éléments de E mais qu'on peut en définir d'autres aussi. Exemple : sur les réels, +-*/. SI on avait une suite de triangle qu'on savait déplacer et agrandir/rétrécir, on pourrait faire de même sur notre suite.

Critère de Cauchy pour une introduction c'est violent et ca à rien.

Dans le tableau du §Suites monotones, Limite égale au minorant = lequel ? Vous dites qu'il y en a une infinité. Pareil pour la ligne en dessous et son majorant.

Je viens de lire la partie Sommes partiels puis Séries.

Sur les sommes partiels

Le début est bizarre : vous lister toutes les sommes de 1 + x jusqu'à 100 + x, mais vous écrivez en dessous "Il se retrouvait alors avec 50 fois 101, donnant un résultat immédiat". Sauf qu'il y a 100 sommes décrites (mais elles le sont en double : à la fois 1 + 100 et 100 + 1). De la même manière, le coup du S, +S à le ligne suivante n'est probablement la manière le plus lisible d'écrire ça.

Pour la partie "Suites géométriques", lors de la démonstration, ce serait bien de dire comment vous avez eu cette idée. C'est assez standard en maths, donc dire que vous avez cherché à supprimer les termes intermédiaires pour avoir une formule qui, comme celle de la partie précédente, ne dépende que des termes extrême, serait intéressant.

Ortho/typo :

Gauss remarqua quelque chose d'étrange dans la suite de calculs suivants : […] 100 + 4 = 101.

Sur la formule du S x r, le terme $u_0 \times r^n$ est en double.

Sur les séries

Partie "Convergence et divergence d'une série" (séries numériques), la phrase "Il s'avère que certaines séries donnent un résultat fini, alors que la suite dont elles découlent est infinie" est tourné assez bizarrement.

"Par exemple, la suite harmonique" ?? Je ne crois pas que vous ayez défini cette suite.

Juste après "Par exemple, la série de l'inverse des nombres premiers diverge", un exemple un peu plus intuitif serait le bienvenue.

"Un exemple : les séries géométriques" Je ne sais pas si c'est vraiment long, ou si je ne suis pas le bon public. Je me suis tout de suite dit que, puisqu'on avait la valeur de la somme jusqu'au nième terme (chapitre précédant), on pouvait facilement passer à la limite. À voir avec un débutant.

Pour la série harmonique, je trouve que la démo est bien faite. C'est simple et propre.

Faites gaffe avec les "en dessous" et "supérieur". Selon le contexte, l’égalité est inclue ou non : "tout terme de rang n de la suite harmonique est supérieur au terme de même rang dans la suite vue plus haut" -> inclus ; "Les mathématiciens ont depuis longtemps établit un théorème qui dit que la raison […] doit rester en-dessous de 1 pour que la série converge." -> exclu.

Voilà pour ce qui est écrit à l’heure actuelle.

Juste un détail pour les deux interventions précédentes : une partie des remarques de que vous avez faite avaient déjà été corrigées hors-ligne dans une version non-mise en bêta. C'est le cas pour l'introduction des additions ou soustractions de suites à la sauvage, par exemple. Aussi, je me permets de mettre en bêta la dernière version du tutoriel.

Ajout d'un extrait sur les nombres polygonaux dans le chapitre sur les sommes partielles. J'ai jouté cet extrait pour ajouter un peu de mathématiques récréatives dans le cours, ce qui manque cruellement (alors que c'était un des objectif de départ). D'autres modifications arriveront bientôt : je compte détailler quelque peu la suite de Fibonnaci, peut-être parler un peu de la suite de Syracuse, et ajouter quelques remarques. Une fois que ce sera fait, j'enverrais le cours en validation.

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