Conjecture sur la somme d'une série convergente

Le problème exposé dans ce sujet a été résolu.

Eh bien, ce que je trouve est dans mon dernier post, il faudrait que je montre que cette somme est égale à 1. Sinon :

$$\sum_{i=a}^b\begin{pmatrix}m\\i\end{pmatrix}(-1)^i=\sum_{i=0}^b\begin{pmatrix}m\\i\end{pmatrix}(-1)^i-\sum_{i=0}^{a-1}\begin{pmatrix}m\\i\end{pmatrix}(-1)^i=(-1)^b\begin{pmatrix}m-1\\b\end{pmatrix}+(-1)^a\begin{pmatrix}m-1\\a-1\end{pmatrix}$$
Je pense que ça devrait donner ça, d'après la formule précédente :p

C'est surtout le $\dfrac{1}{1+i}$ qui me gène dans la somme en fait

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Banni

Ok, tu disais « lorsque je passe le m dans le coefficient binomial » et en fait tu voulais dire que tu le passais dans la somme ? Tu voulais dire quoi exactement par là ?

Tu as un coefficient binomial multiplié par quelque chose (oublies le $(-1)^i$, regardes juste $\binom{m-1}{i}\frac{m}{1+i}$). Ne connais-tu pas une formule pour les coefficients binomiaux qui a quelque chose à voir avec des produits ?

(En fait, il y a deux formules connues qu'on peut utiliser, l'une s'appliquant directement ici. Les deux permettent de retrouver l'autre et les deux s'interprêtent.)

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… Vraiment désolé, c'était réellement évident sur ce coup-ci…

Je voulais dire que j'avais développé le coefficient binomial en factorielles pour pouvoir avoir au numérateur du $m!$, donc quasiment retrouver la formule en question en fait, mais bon, passons :'(

On a donc :

$$S\xrightarrow[n\to+\infty]{}\frac{1}{m!m}\sum_{i=0}^{m-1}\begin{pmatrix}m\\i+1\end{pmatrix}(-1)^i=-\frac{1}{m!m}\sum_{i=1}^{m}\begin{pmatrix}m\\i\end{pmatrix}(-1)^{i}=-\frac{1}{m!m}\left(\sum_{i=0}^{m}\begin{pmatrix}m\\i\end{pmatrix}(-1)^i-1\right)=\boxed{\frac{1}{m!m}}$$

Un GROS, GROS merci pour cette aide si précieuse !

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