Prouver qu'une suite est monotone et borné

Le problème exposé dans ce sujet a été résolu.

Ah oui c’est plutôt $\forall n \in \mathbb{N}, u_n \in [-1;1]$.

Par ailleurs, avec le sinus qui pointe le bout de son nez, c’est typiquement le cas où étudier le comportement de la valeur absolue de la suite peut alléger la démonstration (ce que tu as dailleurs fait implicitement alors que tu aurais pu le faire dès le départ).

Goeland-croquant

Ok

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Bon après il avait :

Est-il vrai qu’une suite croissante est majorée ? Minorée ?

Soit $(u_n)_{n\ge0}$ une suite croissante, par définition $\forall n \in \mathbb{N}, u_n \le u_{n+1}$ donc forcément $\forall n \in \mathbb{N}, u_0 \le u_n$ la suite est donc minorée.

Pour la majoration, il suffit de trouver un contre exemple, donc par exemple la suite $(n^2)_{n\in \mathbb{N}}$ est croissante mais pas majorée.


Et enfin la dernière question était :

Soit $x>0$ un réel. Montrez que la suite $\left ( \frac{x^n}{n!} \right )_{n \in \mathbb{N}}$ est décroissante à partir d’un certain rang.

Soit $N$ ce rang et $(u_n)$ cette suite. Si $n \ge N$ alors $u_{n+1} - u_n \le 0$, or :

$$ \frac{x^{n+1}}{(n+1)!} - \frac{x^n}{n!} $$
$$ \frac{n! \cdot x^{n+1} - x^n(n+1)!}{n!(n+1)!} $$
$$ \frac{n! \cdot x^{n+1} - x^n \cdot n!(n+1)}{n!(n+1)!} $$
$$ \frac{x^{n+1}-x^n(n+1)}{(n+1)!} $$
$$ \frac{x^n \cdot x}{(n+1)!} - \frac{x^n(n+1)}{(n+1)!} $$
$$ \frac{x^n \cdot x \times (n+1)}{(n+1)! \times (n+1)} - \frac{x^n(n+1)}{(n+1)!} $$
$$ \frac{x}{n+1} \times \frac{x^n(n+1)}{(n+1)!} - \frac{x^n(n+1)}{(n+1)!} $$

Pour alléger considérons $a = \frac{x^n(n+1)}{(n+1)!}$, nous avons donc $\frac{x}{n+1}a - a$ or si $\frac{x}{n+1} \le 1$, $\frac{x}{n+1}a - a \le 0$ et donc $(u_n)$ est décroissante pour $n \ge N = x - 1$. CQFD !?

Edit: Désolé, Holosmos, pour les picotements aux yeux. Ré-Edit: Erreur dans l’énoncé, merci Gabro

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Pour ta deuxieme partie, il y a deux principaux problèmes (en plus de tous tes calculs lourds dans le style pourquoi faire simple ; remarquer que $(n+1)! = n! . (n+1) $ et $x^{n+1}= x . x^n$ t’aurais évité bien des tracas)

Pour le premier point, je vais caricaturer ton raisonnement. Supposons que N existe. Alors N vérifie ces propriétés. Donc N existe.

Pour le deuxième point, pour conclure il te manque l’étude du signe de $a $.

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Pour ta deuxieme partie, il y a deux principaux problèmes (en plus de tous tes calculs lourds dans le style pourquoi faire simple ; remarquer que $(n+1)! = n! . (n+1) $ et $x^{n+1}= x . x^n$ t’aurais évité bien des tracas)

Effectivement,c’est que sur mon brouillons j’ai trouvé ça comme ça mais j’aurais dû me relire pour le simplifier.

Pour le premier point, je vais caricaturer ton raisonnement. Supposons que N existe. Alors N vérifie ces propriétés. Donc N existe.

Ah oui, il faudrait directement partir pour trouver $\frac{x}{n+1}a - a$, $a$ qui vaut donc plus simplement $\frac{x^n}{n!}$, et conclure en conséquence.

Pour le deuxième point, pour conclure il te manque l’étude du signe de $a $.

Goeland-croquant

Du coup $n \in \mathbb{N} \Rightarrow \frac{x^n}{n!} \ge 0$.

Je vais réécrire la preuve avec vos critiques.

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On cherche si $\left ( u_n = \frac{x^n}{n!} \right )_{n \in \mathbb{N}}$ est décroissante à partir d’un certain rang. Nous pouvons remarquer que :

$$ \frac{x^{n+1}}{(n+1)!} - \frac{x^n}{n!} $$
$$ \frac{x \cdot x^n}{(n+1) \cdot n!} - \frac{x^n}{n!} $$
$$ \frac{x}{n+1} \times \frac{x^n}{n!} - \frac{x^n}{n!} $$

Posons $a = \frac{x^n}{n!}$, nous avons donc $\frac{x}{n+1}a - a$, en sachant que $n \in \mathbb{N} \text{et} x > 0$ nous pouvons remarquer que $a \ge 0$ ce qui nous permet d’affirmer que si $\frac{x}{n+1} \le 1$ alors $\frac{x}{n+1}a - a \le 0$ et donc, par définition de la décroissance, $u_n$ est décroissante pour tous $n \ge x - 1$.

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Pour démontrer u’une suite est (dé)croissante, on peut calculer la différence entre 2 termes consécutifs et vérifier si ce nombre est toujours de même signe.

On peut aussi calculer le rapport entre 2 termes consécutifs, et comparer ce nombre avec 1.

Soit $x<0$ un réel. Montrez que la suite $\left ( \frac{x^n}{n!} \right )_{n \in \mathbb{N}}$ est décroissante à partir d’un certain rang.

Tu es sûr de ton énoncé ? Car là, si $u_n = \frac{x^n}{n!}$, alors $u_{n+1} = \frac{x}{n+1}u_n$. Comme $x < 0$, $u_n$ et $u_{n+1}$ sont de signes opposés, donc la suite $(u_n)_n$ ne peut pas être décroissante. Sa valeur absolue (ou bien encore le cas $x>0$), si.

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Y a plus rapide encore.

Je te fais un début :

Soit $k$ entier de sorte que $k> |x|$. Comme $(k+n)!> k! k^n$ on en déduit que $|x|^{k+n}/(k+n)!$

Holosmos

Je vois un peu près où tu veux que j’aille mais je vois pas d’où vient et à quoi sert $(k+n)!> k! k^n$.

On peut aussi calculer le rapport entre 2 termes consécutifs, et comparer ce nombre avec 1.

elegance

Ce serait effectivement plus élégant ;)

Soit $x<0$ un réel. Montrez que la suite $\left ( \frac{x^n}{n!} \right )_{n \in \mathbb{N}}$ est décroissante à partir d’un certain rang.

Tu es sûr de ton énoncé ? Car là, si $u_n = \frac{x^n}{n!}$, alors $u_{n+1} = \frac{x}{n+1}u_n$. Comme $x < 0$, $u_n$ et $u_{n+1}$ sont de signes opposés, donc la suite $(u_n)_n$ ne peut pas être décroissante. Sa valeur absolue (ou bien encore le cas $x>0$), si.

Gabbro

Mea culpa, c’est $x>0$.

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On peut aussi calculer le rapport entre 2 termes consécutifs, et comparer ce nombre avec 1.

elegance

Ce serait effectivement plus élégant ;)

Pas nécessairement parce qu’il faut s’assurer que le terme au dénominateur est non nul, ce qui n’est pas toujours trivial à prouver tant que l’on n’a pas prouvé que la suite était d’abord croissante ou décroissante par exemple.

Nan mais là pas besoin de regarder de ratio, on a directement le facteur multiplicatif.

Bon sinon pour la fin de la preuve que je propose : (avec $k>x\geq 0$)

$$ \frac{x^{n+k}}{(k+n)!} < \frac{x^k}{k!}\frac{x^n}{k^n} < \frac{x^k}{k!} $$

En fait on a même mieux, on peut montrer que la suite tend vers $0$ puisque le facteur $x/k$ est strictement inférieur à $1$.

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