Bon après il avait :
Est-il vrai qu’une suite croissante est majorée ? Minorée ?
Soit $(u_n)_{n\ge0}$ une suite croissante, par définition $\forall n \in \mathbb{N}, u_n \le u_{n+1}$ donc forcément $\forall n \in \mathbb{N}, u_0 \le u_n$ la suite est donc minorée.
Pour la majoration, il suffit de trouver un contre exemple, donc par exemple la suite $(n^2)_{n\in \mathbb{N}}$ est croissante mais pas majorée.
Et enfin la dernière question était :
Soit $x>0$ un réel. Montrez que la suite $\left ( \frac{x^n}{n!} \right )_{n \in \mathbb{N}}$ est décroissante à partir d’un certain rang.
Soit $N$ ce rang et $(u_n)$ cette suite. Si $n \ge N$ alors $u_{n+1} - u_n \le 0$, or :
$$ \frac{x^{n+1}}{(n+1)!} - \frac{x^n}{n!} $$
$$ \frac{n! \cdot x^{n+1} - x^n(n+1)!}{n!(n+1)!} $$
$$ \frac{n! \cdot x^{n+1} - x^n \cdot n!(n+1)}{n!(n+1)!} $$
$$ \frac{x^{n+1}-x^n(n+1)}{(n+1)!} $$
$$ \frac{x^n \cdot x}{(n+1)!} - \frac{x^n(n+1)}{(n+1)!} $$
$$ \frac{x^n \cdot x \times (n+1)}{(n+1)! \times (n+1)} - \frac{x^n(n+1)}{(n+1)!} $$
$$ \frac{x}{n+1} \times \frac{x^n(n+1)}{(n+1)!} - \frac{x^n(n+1)}{(n+1)!} $$
Pour alléger considérons $a = \frac{x^n(n+1)}{(n+1)!}$, nous avons donc $\frac{x}{n+1}a - a$ or si $\frac{x}{n+1} \le 1$, $\frac{x}{n+1}a - a \le 0$ et donc $(u_n)$ est décroissante pour $n \ge N = x - 1$. CQFD !?
Edit: Désolé, Holosmos, pour les picotements aux yeux.
Ré-Edit: Erreur dans l’énoncé, merci Gabro