Qu'est-ce qu'une fonction ?

Rentrons sans attendre dans le vif du sujet. Une fonction est une machine qui transforme quelque chose en autre chose. Pour cela, il se trouve d’un côté une entrée où l’on place l’objet à transformer et de l’autre une sortie où l’on récupère le résultat. Schématiquement, cela se présente de la façon suivante.

Jusque-là, la définition est assez vaste. On pourrait dire par exemple qu’une vache est une fonction qui transforme l’herbe en lait, qu’un moulin est une fonction qui transforme le blé en farine, qu’une ampoule est une fonction qui transforme l’électricité en lumière ou encore, comme l’illustrait Paul Erdős, qu’un mathématicien est une fonction qui transforme le café en théorème.

Mais puisque l’on fait des maths, vous vous doutez certainement que les fonctions dont nous allons parler ne sont ni des vaches, ni des moulins et ne s’alimentent pas d’herbe, de blé ni de café. Les fonctions que nous allons étudier dans ce tuto sont des fonctions mathématiques, donc abstraites, qui transforment des objets mathématiques en d’autres objets mathématiques.

Voyons quelques exemples. Considérons pour commencer une fonction, qui prend en entrée un nombre et qui nous donne en sortie le double du nombre qu’on lui a donné. Par exemple, si on entre le nombre 12 dans notre machine, il en ressort 24.

Si en revanche on y entre 100, il en ressort 200, si on y entre -1 il en ressort -2 et si on y entre 0, il en ressort… 0. Nous avons là affaire à une fonction numérique car son entrée et sa sortie sont des nombres.

Mais les nombres ne sont pas les seuls objets mathématiques qui existent : on peut également imaginer des fonctions géométriques. Par exemple, voici une machine qui prend en entrée une figure géométrique et qui donne en sortie une figure semblable mais dont les dimensions ont été doublées.

Nous verrons dans le chapitre consacré aux fonctions géométriques que celle-ci peut se nommer une homothétie.

Entre les nombres et la géométrie, il est même possible de mélanger les genres. On peut considérer une fonction à laquelle on donne une figure géométrique et qui renvoie son périmètre. Nous avons donc une figure en entrée et un nombre en sortie.

Les possibilités des fonctions sont énormes et les seules limites sont celles de notre imagination. Les nombres, les figures géométriques, mais aussi les ensembles ou encore les vecteurs, tout peut y passer. Il est possible d’inventer des fonctions transformant n’importe quels types d’objets mathématiques !

Parfaitement ! Non seulement c’est possible, mais c’est même très fréquent et nous y consacrerons le dernier chapitre de ce cours.

Diabolique n’est-ce pas ? Vous voilà désormais prévenu, les fonctions ont plus d’un tour dans leur sac et nous réservent de belles surprises.

Nous venons de voir que la notion de fonction en mathématiques est très vaste et regroupe des choses extrêmement différentes puisqu’on peut en voir apparaître dans toutes les branches des mathématiques. Cela a une conséquence un peu moins amusante : la définition d’une fonction demande d’être posée avec beaucoup de précision.

Ensembles de départ et d’arrivée

Si je vous dis par exemple qu’on considère une fonction qui multiplie par 2. Ai-je parlé d’une fonction numérique qui multiplie un nombre par 2 ? Est-ce une fonction géométrique qui double la taille d’une figure ? Et dans ce cas, est-ce que cela signifie que l’on multiplie les longueurs par 2 auquel cas les aires sont multipliées par 4 ou bien multiplie-t-on les aires par 2 ce qui veut dire que les distances ne sont multipliées que par $\sqrt{2}$ ? Mais multiplier par 2, c’est aussi quelque chose que l’on peut faire avec des vecteurs, avec des nombres complexes, avec des équations, et même, nous le verrons un peu plus tard, avec des fonctions !

Bref, vous l’aurez compris, si je parle simplement d’une fonction qui multiplie par 2, je suis encore loin d’avoir défini précisément ma fonction.

La conclusion de cela, c’est que pour définir une fonction, il ne s’agit pas simplement de définir le mécanisme de la machine, c’est-à-dire la façon dont sont transformés les objets que l’on met dedans, il faut aussi au préalable définir précisément quel type d’objets notre fonction est capable de transformer et quel type d’objets elle renvoie en sortie. Autrement dit une fonction doit toujours être accompagnée de deux ensembles :

• un ensemble de départ : c’est l’ensemble des objets que l’on peut mettre dans la machine, c’est-à-dire tous les objets pour lesquels le mécanisme de la machine a été clairement décrit ;
• un ensemble d’arrivée : c’est l’ensemble des objets que la machine est susceptible de renvoyer. Voici schématiquement comment se représente alors une fonction numérique.

Ici, les ensembles de départ et d’arrivée ne contiennent que des nombres.

Ensemble de définition et image

Mais les choses seraient encore trop simples si l’on s’arrêtait là.

Ça coince au départ

L’ensemble de départ est celui qui contient tous les objets du type pour lequel on veut faire marcher notre machine, mais il est tout à fait possible que cet ensemble contienne encore des objets pour lesquels la machine ne marche pas.

Prenons par exemple la fonction numérique qui a un nombre associe son inverse. Si on lui donne 2, elle renverra 1/2, si on lui donne 7/3 elle renverra 3/7 et ainsi de suite. C’est une fonction numérique et son ensemble de départ est l’ensemble des nombres réels, c’est-à-dire tous les nombres positifs, négatifs, entiers ou à virgule. Oui mais voilà, parmi tous les nombres réels, il existe un récalcitrant qui a le mauvais goût de ne pas avoir d’inverse : c’est 0. On ne peut pas diviser par 0 et l’inverse de ce nombre n’est donc pas défini. Ce nombre-là, quoique étant dans l’ensemble de départ ne donnera donc pas de résultat par notre fonction.

Comme pour l’inverse il existe de nombreuses autres fonctions qui ont ainsi des valeurs interdites. C’est pour cette raison que l’on définit à l’intérieur de l’ensemble de départ un sous-ensemble nommé ensemble de définition qui contient toutes les valeurs pour lesquelles la fonction va bien marcher.

En géométrie, les mathématiciens savent calculer les aires des figures classiques depuis l’Antiquité, mais ce n’est qu’au XXe siècle qu’ils ont découvert qu’il existait des figures dites non mesurables pour lesquelles il n’est pas possible de calculer l’aire, c’est-à-dire pour lesquelles la fonction bloque de la même façon que pour l’inverse de 0. Comme quoi, il faut parfois beaucoup de temps pour pouvoir déterminer l’ensemble de définition d’une fonction !

Ça manque à l’arrivée

Un problème similaire peut se produire à l’arrivée. Il est possible que l’ensemble d’arrivée contiennent certains objets que la fonction n’est pas capable de fabriquer. Autrement dit, quel que soit l’objet de l’ensemble de départ que vous mettrez dans la machine, vous n’obtiendrez jamais ce résultat à la sortie.

L’ensemble des objets que la fonction est capable de sortir s’appelle son ensemble image.

Un exemple classique est celui de la fonction numérique qui à un nombre réel associe son carré. On sait que le carré d’un nombre est toujours positif, ainsi l’image de cette fonction est l’ensemble $\mathbb{R}_+$ des réels positifs. Les nombres négatifs n’en font pas partie.

Il faut tout de même dire que le problème de l’ensemble image est nettement moins grave que celui de l’ensemble de définition. Autant mettre dans la machine un objet qui peut la casser est dangereux et peut aboutir à des contradictions, autant ne pas pouvoir obtenir certains objets en sortie, il faut le savoir mais il n’y a pas de quoi en faire un drame.

Image et antécédent

Un dernier petit point de vocabulaire. Si on met un objet de l’ensemble de départ dans la fonction, le résultat est appelé son image. Par exemple, si on considère la fonction qui à une figure géométrique associe son périmètre, alors l’image d’un carré de côté 5 par cette fonction est 20.

Dans l’autre sens, si on a un objet de l’ensemble d’arrivée, alors un élément de l’ensemble de départ qui donne cet objet quand on le met dans la fonction s’appelle un antécédent. Ainsi, le carré de côté 5 est un antécédent de 20 par la fonction périmètre.

Chaque élément de l’ensemble de départ ne peut avoir qu’une seule image, mais en revanche, un élément de l’ensemble d’arrivée peut avoir beaucoup d’antécédents. Par exemple, pour la fonction périmètre, le nombre 20 a énormément d’antécédents car il existe une infinité de figures différentes dont le périmètre est égal à 20.

Jusque-là, nous avons décrit le fonctionnement des fonctions et nous les avons représentées par des schémas comme celui-ci :

Cependant, vous vous doutez bien que ces dessins ne sont là que pour nous accompagner dans notre découverte des fonctions. Comme toutes les autres branches des mathématiques, l’étude des fonctions utilise un langage symbolique précis et qu’il est indispensable de connaître. C’est ce que nous allons apprendre maintenant.

Inutile d’apprendre par cœur tout ce qui suit. Lisez-le juste une fois pour avoir une idée de la façon dont se notent rigoureusement les fonctions, mais si certaines choses vous semblent trop abstraites du premier abord, ne vous en faites pas, c’est normal. Tout cela viendra avec l’habitude et la pratique.

Tout d’abord, il faut savoir que toutes les fonctions que l’on définit doivent porter un nom. Pour faire simple, en maths, on utilise souvent des noms d’une seule lettre, alors inutile d’aller chercher bien loin, la première du mot fera l’affaire : le nom le plus fréquent que l’on donne aux fonctions est $f$.

Lorsque dans un problème de maths on a besoin de plusieurs fonctions, alors on poursuit l’alphabet et après $f$ les suivantes se nommeront $g$ et $h$. Ce choix est le plus courant, mais n’a rien d’obligatoire. Si vous avez une bonne raison de vouloir appeler vos fonctions autrement, vous êtes libres.

Après avoir nommé la fonction, il faut nommer son ensemble de départ et celui d’arrivée. Les ensembles se notent en général avec des lettres majuscules. Dans le cas général, il arrive par exemple qu’on les note $E$ et $F$, mais ce n’est pas systématique et cela dépend de la fonction. En réalité, très souvent ces deux ensembles sont des ensembles classiques qui ont déjà un nom usuel. Par exemple, il peut s’agir de l’ensemble des nombres réels $\mathbb{R}$, ou bien simplement de l’intervalle des nombres compris entre $0$ et $1$, $[0,1]$.

Passons maintenant au nom d’un élément quelconque de l’ensemble de départ. Encore une fois, ce nom dépend de la fonction : s’il s’agit d’un nombre il sera souvent noté $x$, s’il s’agit d’un point géométrique ce sera $A$… Cet élément se nomme la variable de la fonction car il s’agit d’un objet que l’on peut choisir et faire varier contrairement aux objets d’arrivée qui sont déterminés par le mécanisme de la fonction.

À partir de là l’objet qui sort de la fonction se note en mettant l’objet d’entrée entre parenthèses après le nom de la fonction, comme ceci :

$\Large f(x)$

Cette expression se lit « $f$ de $x$ » et désigne donc le résultat de la fonction quand on lui donne $x$. Il s’agit par conséquent d’un objet de l’ensemble d’arrivée. En réutilisant le vocabulaire que nous avons vu dans la section précédente, on peut dire que $f(x)$ est l’image de $x$ par $f$ tandis que $x$ est un antécédent de $f(x)$.

Tout ce que nous venons de dire se résume alors de la façon suivante :

Cette présentation constitue la définition rigoureuse d’une fonction. Elle signifie : $f$ est la fonction qui part de $E$ et qui va dans $F$ et qui à un élément $x$ qui appartient à $E$ associe l’élément $f(x)$ qui appartient à $F$.

Voici par exemple la façon dont on peut définir la fonction inverse pour les nombres réels :

L’ensemble de définition se nomme pour sa part $D(f)$ (ou parfois $\text{Def}(f)$) et l’ensemble image $\text{Im}(f)$. Ainsi, pour la fonction inverse, on a $D(f)=\text{Im}(f)=\mathbb{R}^*$.