Approche du sujet

Avant même d’aborder le sujet, on peut se demander pourquoi lire un tel tutoriel. Que va permettre un « développement limité » ?

La continuité

Nous aurons la possibilité de définir par des voisinages la notion de continuité. Mais avant celle-là, rappelons brièvement la définition la plus courante de la continuité.

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Définition

Soit $f : I \to \mathbf{R}$ une fonction numérique où $I$ est un intervalle de $\mathbf{R}$. Soit $a\in I$. On dit que $f$ est continue en $a$ si la limite : $\lim_{x\to a}f(x)$

existe, est finie et elle est alors nécessairement égale à $f(a)$.

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Cela signifie exactement qu’il existe $\epsilon : I \to \mathbf{R}$ telle que $f(x) = f(a) + \epsilon(x-a)$

et où $\epsilon(x-a)$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $a$.

Vous connaissez certainement beaucoup de fonctions continues. En voilà une : $\forall x\in \mathbf{R}, \; f(x) = | x |.$

C’est la fameuse fonction « valeur absolue ». Cette fonction est continue partout sur $\mathbf{R}$ (montrez-le à partir de la définition !). En particulier, elle est continue en $0$.

Ainsi, si je prends un $x$ réel assez proche de $0$ (par exemple $10^{-19}$) alors $|x|$ sera assez proche de $|0|=0$.

Graphiquement cela se voit très bien :

En bleu nous avons la courbe représentative de $x\mapsto |x|$ et en rouge $x\mapsto 0$ l’application identiquement nulle.

On observe que plus la distance entre $x$ et $0$ est petite, plus la distance entre $|x|$ et $|0|=0$ est petite. C’est ce que dit la définition.

La dérivabilité

La dérivabilité est une condition plus forte que la continuité. Cela signifie que si $f$ est dérivable en $a$ alors elle est continue en $a$.

Plus formellement, soit $f:I\to\mathbf{R}$ avec $I$ un intervalle de $\mathbf{R}$.

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Définition

Soit $a\in I$. On dit que $f$ est dérivable en $a$ si la limite $\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$

existe et est finie. On définit alors $f'(a)$ comme étant la valeur de cette limite. C’est le nombre dérivé de $f$ en $a$.

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Mais tout comme on a une autre définition de la continuité, on a en a une autre pour la dérivabilité.

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Définition équivalente

$f$ est dérivable en $a$ s’il existe $\epsilon : I\to\mathbf{R}$ et $f'(a)\in \mathbf{R}$ tels que $\forall x\in I, \; f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + (x-a)\epsilon(x-a)$

avec $\epsilon(x-a)$ qui tend vers $0$ quand $x$ tend vers $a$.

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En effet, si on suppose cette égalité, on a pour tout $x$ de $I-\{a\}$ : $\frac{f(x) - f(a)}{x-a} = \frac{f(a) + f'(a)(x-a) + (x-a)\epsilon(x-a) - f(a)}{x-a} = f'(a) + \epsilon(x-a)$

mais comme $\epsilon(x-a)$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $a$ on a bien la définition de $f'(a)$ par la limite précédente.

Réciproquement, on peut poser $\epsilon(x-a) = \frac{f(x) - f(a)}{x-a} - f'(a)$ et la première définition nous assure que $\epsilon(x-a)$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $a$.

Interprétation géométrique

Graphiquement, on peut tracer l’application $x\mapsto f(a) + f'(a)(x-a)$. C’est une droite affine de « pente » $f'(a)$ qui passe par $f(a)$.

Vous connaissez probablement un tas d’applications dérivables. En voilà une : $\forall x\in \mathbf{R}, \; f(x) = x^3+x +1 .$

$f$ est bien dérivable en $0$ et $f'(0) = 1$. On a la figure suivante :

En bleu, la courbe représentative de $f$ et en rouge celle de $x\mapsto f(0) + f'(0)(x-0)$.

La droite définie par $x\mapsto f(a) +f'(a)(x-a)$ a un nom particulier : la tangente à la courbe représentative de $f$ en $a$. Cela signifie, qu’autour de $a$, la courbe représentative de $f$ ressemble beaucoup (beaucoup !) à sa tangente.

En effet, regardez si je prend $x$ entre $-0.01$ et $0.01$, on a :

Il ne manque aucune courbe, c’est juste que la différence est tellement petite qu’on ne la voit pas.

C’est un fait qui n’arrivait pas toujours avec la continuité. Dans l’exemple de la valeur absolue, on verra toujours une différence entre les deux courbes, même en prenant des $x$ petits. C’est parce que la valeur absolue n’est pas dérivable en $0$.

Et après ?

Nous avons donc vu deux méthodes d’approximation. Pourquoi essayer d’en dégager une autre ?

Regardons l’exemple suivant. On prend la fonction $x\mapsto \cos(x)$ et on l’étudie au voisinage de $0$. On peut tout à fait tracer la tangente en $0$, cela donne :

On remarque que l’approximation par $x\mapsto 1$ en $0$ n’est pas trop mauvaise mais rapidement insuffisante. Si je prends $x=0.5$ j’ai deux résultats sensiblement différents.

Maintenant, regardez si à la place de l’application $x\mapsto 1$ je prenais $x\mapsto 1 - x^2/2$, j’obtiens la chose suivante :

C’est beaucoup mieux !

Comment obtenir de telles fonctions ? Est-ce qu’on peut faire encore mieux ? Toutes ces questions auront une réponse dans la suite ce tutoriel.

Il sera souvent question dans ce tutoriel du voisinage d’un point $a\in\mathbf{R}\cup\{\pm\infty\}$. Il va s’agir d’expliquer rapidement ce qu’est un voisinage de $a$.

Cas où $a\in \mathbf{R}$

Supposons donc que $a$ soit réel.

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Définition

Un voisinage $V$ de $a$ est une partie de $\mathbf{R}$ contenant une boule ouverte centrée en $a$, c’est-à-dire qu’il existe $\epsilon >0$ tel que $V \supset ]a-\epsilon, a+\epsilon[.$

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Exemples

Prenons $a = 2$ les ensembles :

• $\mathbf{R}$ ;
• $]1,3[$ ;
• $]1,3[\cup \{ 7\}$ ;

sont des voisinages de $2$. Cependant, les ensembles :

• $\emptyset$ ;
• $\{ 2 \}$ ;
• $]-1,1[$ ;

ne sont pas des voisinages de $2$.

Cas où $a = \pm \infty$

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Définition

Un voisinage $V$ de $+\infty$ est une partie de $\mathbf{R}$ telle qu’il existe $A>0$ tel que $V\supset ]A,+\infty[.$

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Je vous laisse étudier le cas où $a= -\infty$.

Exemples

L’ensemble $]0,+\infty[$ est un voisinage de $+\infty$ et l’ensemble $\left]-\infty,-10^{10^{10}}\right[$ est un voisinage de $-\infty$.

Application à la définition de la limite

À partir de cette définition des voisinages, on peut facilement formuler la définition d’une limite. Soit $f : E \to \mathbf{R}$ une application définie sur $E$, une partie de $\mathbf{R}$ qui contient un voisinage de chacun de ses points (on dit que c’est un ouvert).

On dit que $f(x)$ tend vers $a\in \mathbf{R}\cup \{\pm\infty\}$ quand $x$ tend vers $b\in E$ si pour tout voisinage, $V_a$, de $a$ il existe un voisinage, $V_b$, de $b$ inclus dans $E$ tel que $f(V_b) \subset V_a$. En d’autres termes, $\forall x\in V_b, \; f(x) \in V_a.$