Rédaction / Nombres complexes

Le problème exposé dans ce sujet a été résolu.

Bonjour,

J'ai des questions concernant la rédaction d'une résolution "bête" dans C.

$({z^3} + 1)({z^3} - 8) = 0$

${z^3} = - 1 = {e^{i\pi }}$

$ \Leftrightarrow {z_k} = {e^{i(\frac{\pi }{3} + \frac{{2k\pi }}{3})}},k \in \left\{ {0;1;2} \right\}$

ou ${z^3} = 8$

$ \Leftrightarrow {z_k} = 2{e^{i(\frac{{2k\pi }}{3})}},k \in \left\{ {0;1;2} \right\}$

L'ensemble solution est :

$S = \left\{ {2{e^{i(\frac{{2k\pi }}{3})}};{e^{i(\frac{\pi }{3} + \frac{{2k\pi }}{3})}}:k \in \left\{ {0;1;2} \right\}} \right\}$

Est-ce qu'on peut noter ça comme ça ? J'aime bien être rigoureux du coup s'il y a des trucs faux ou pas très justes en termes de notations je préfère savoir!

Aussi une dernière chose, si on me demande de factoriser ce polynôme ci-dessus en facteurs premiers, puis-je laisser la forme exponentielle ou je dois repasser en forme cartésienne ?

Merci.

+0 -0

En soi, tu n'as pas vraiment fait de rédaction. Il n'y a qu'une seule phrase (et encore). Si tu veux progresser, le mieux c'est d'écrire plus. Le but d'une rédaction n'est pas d'être le plus rapide possible mais le plus clair.

Petit détail pas important, les solutions d'une équation sont les éléments de ton ensemble $S$. Donc $S$ n'est pas l'ensemble solution mais l'ensemble des solutions. Bien que l'on puisse te demander l'ensemble des solutions et alors l'expression « ensemble solution » est parfaitement juste.

Aussi une dernière chose, si on me demande de factoriser ce polynôme ci-dessus en facteurs premiers, puis-je laisser la forme exponentielle ou je dois repasser en forme cartésienne ?

Je dirais n'importe.

+2 -0

En soi, tu n'as pas vraiment fait de rédaction. Il n'y a qu'une seule phrase (et encore). Si tu veux progresser, le mieux c'est d'écrire plus. Le but d'une rédaction n'est pas d'être le plus rapide possible mais le plus clair.

Holosmos

D'accord! Merci! Qu'est-ce qu'il faudrait mettre comme phrases ici ? Par exemple si je veux démontrer qu'une suite converge là je suis d'accord qu'il faut plus écrire mais ici que détailler ? Le calcul du module, de l'argument ?

+0 -0

Tout bêtement, voici ce que j'aurais pu écrire dans une telle situation. Non pas que je dise que ma rédaction est parfaite non plus, mais ça peut te donner des idées.

On se propose de calculer les solutions de l'équation

$$(z^3+1)(z^3-8)=0 $$

où $z$ est une variable complexe. Il s'agit donc de calculer les zéros respectifs des équations $z^3+1=0$ et $z^3-8=0$. On obtient respectivement $z= \exp(i(2k+1)\pi/3)$ et $z = 2\exp(i2k\pi/3)$ où $k$ désigne un entier entre $0$ et $2$.

Finalement, l'ensemble des solutions est décrit par :

$$ S = \{\exp(i(2k+1)\pi/3), 2\exp(i2k\pi/3) \, \lvert\, k \in \{0,1,2\}\}.$$

Tu vois que c'est pas beaucoup plus long. Je ne sais pas quel est le niveau de rédaction qui t'es demandé, donc peut-être qu'il faudrait rajouter les détails de calcul. Il n'empêche qu'on a des phrases … ce qui facilite grandement la lecture.

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Comme Holosomos l’a dit, ne se lit pas facilement (en fait, en lisant ta deuxième ligne, j’ai même cru que tu disais que $(z^3 + 1)(z^3 − 8) = 0$ était équivalent à $z^3 + 1 = 0$). Voici un exemple de rédaction que je trouve bien.

Cherchons les solutions dans $\mathbb{C}$ de l’équation

$$ \DeclareMathOperator{\exp}{exp} (z^3 + 1)(z^3 − 8) = 0. $$

Cela revient à chercher les solutions des équations $z^3 + 1 = 0$ et $z^3 − 8 = 0$. Leurs solutions respectives sont $z = \exp\left(\frac{(2k+1)i\pi}{3}\right)$ et $z = 2\exp\left(\frac{2ik\pi}{3}\right)$, avec $k$ un entier de $[\![0 \, ; 2]\!]$. Finalement, l’ensemble des solutions de notre équation est

$$ S = \left\{\exp\left(\frac{(2k+1)i\pi}{3}\right), 2\exp\left(\frac{2ik\pi}{3}\right), k \in [\![0 \, ; 2]\!] \right\}. $$

@Holosomos : Il te manque ta dernière accolade fermante.

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Merci beaucoup! C'est effectivement beaucoup joli à la lecture surtout :D

"avec $k$ un entier de $[\![0 \, ; 2]\!]$. Source:Karnaj "

Juste par curiosité, que signifie le symbole

$$\left[\kern-0.15em\left[ {0;2} \right]\kern-0.15em\right]$$
, mon prof l'utilise pour l'ensemble quotient (relation d'équivalence) mais je suppose qu'ici c'est bien une notation pour désigner uniquement les entier compris entre 0 et 2 ? :)

+0 -0

Tu peux aussi mettre une espèce d'introduction : Un produit de 2 facteurs est nuls si au moins l'un des 2 facteurs est nul. On a donc 2 équations à résoudre, et les z solutions de l'équation initiale sont les z qui vérifient l'une ou l'autre des 2 équations suivantes etc…

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