Bonjour à tous,
Je viens vers vous car je suis bloqué sur un exercice que m'a donné ma prof de physique (je suis entrain d'étudier les balanciers). Je doit démontrer la formule suivante :
Je peux aussi déterminer la valeur de $\Theta''$ :
Merci de votre aide !
Salut ! essaie de bien schématiser ton problème et ensuite d'appliquer la relation fondamentale de la dynamique (tu l'as peut-être appelée 2ème loi de Newton dans ton cours)
Comme le balancier se balance, l'angle n'est pas constant. Autrement dit, $\theta$ est une fonction du temps. Et ton équation est par conséquent une équation différentielle non linéaire.
Je pense qu'il doit juste poser l'équation et pas la résoudre.
Oui mais c'est pour lui confirmer que Theta est une variable (donc que dériver a un sens) et pas un nombre fixe.
Oui effectivement, $\Theta$ est une variable, enfaite c'est même évident maintenant que vous le dite. 
Et $a$ est la valeur de l'accélération. Du coup j'ai dessiné mon système, et écrit la seconde loi de Newton :
Je l'aurais plutôt vu comme ça :
Je sais que $Em = Ec + Epp$, du coup il faut que je trouve $Ec$ et $Epp$. $Epp$, c'est facile, je l'ai déjà. Par contre pour $Ec$ il me faut une vitesse. Je peut avoir la vitesse angulaire ($\Theta'$) mais ce n'est pas la vitesse de la masse, si ? Et après je pense que tout devrait bien s'emboîter, enfin… J'espère ! 
Merci de votre aide !
C'est effectivement une bonne idée de passer par des énergies, sinon c'est un peu plus chiant.
La vitesse sur trajectoire c'est la longueur du fil fois la vitesse angulaire (dérivée de l'angle par rapport au temps). Avec ça tu obtiens une expression de l'énergie mécanique du système. Elle se conserve parce qu'il y a pas de frottement, que peut-on dire ? (Indice: dérive).
Avant de faire quoi que ce soit sur l'énergie mécanique je simplifierais l'expression avec un développement limité: quand $x$ est petit $\cos x \approx 1-x^2/2$. Suppose que tu as des petits angles.
Je vais te poser trois questions pour te faire réfléchir :
Et enfin, deux questions qui devrait t'ôter une once de confusion :
)Edit. : la méthode avec la conservation de l'énergie mécanique est la meilleure à ton niveau. J'ai testé le principe fondamental de la dynamique, et ça fait 10 lignes de plus sur mon brouillon.
Edit. 2 : en plus ta deuxième loi de Newton est fausse, il manque une force.
Ce que dit Aabu est très pertinent: en physique on peut vérifier très facilement ses calculs ou trouver des formules rien qu'en regardant les unités (analyse dimensionnelle). Je te conseille de faire quelques recherches dessus et de tenter quelques exercices d'analyse dimensionnelle, c'est rigolo et très pratique pour repérer ses erreurs.
La vitesse sur trajectoire c'est la longueur du fil fois la vitesse angulaire (dérivée de l'angle par rapport au temps). Avec ça tu obtiens une expression de l'énergie mécanique du système. Elle se conserve parce qu'il y a pas de frottement, que peut-on dire ? (Indice: dérive).
Merci pour la formule. Du coup, j'arrive à ça :
Avant de faire quoi que ce soit sur l'énergie mécanique je simplifierais l'expression avec un développement limité: quand $x$ est petit $\cos x \approx 1-x^2/2$. Suppose que tu as des petits angles.
Je n'ai jamais vu les développements limités… C'est grave si je le fais sans ?
Je vais te poser trois questions pour te faire réfléchir :
- Quelle est l'unité de $m$ ? de $ \omega $ ?
- Quelle est par conséquent celle de $a$ ?
- Est-ce compatible avec une accélération ?
Et enfin, deux questions qui devrait t'ôter une once de confusion :
- où as-tu trouver ta formule pour $\omega$ ? (c'est une question pour toi, j'ai trouvé où
- sa définition colle-t-elle avec ton problème ?
Et c'est justement là que ça m'a aidé tes questions… Je me rend compte que je ne sais toujours pas ce que c'est que ce $\omega$ (je ne l'ai encore jamais vu en cours)… Du coup, son unité, je ne la connais pas, cependant je sais que l'unité de la masse est kg et d'une accélération s'exprime en $m.s^{-2}$. La formule que j'ai trouvé ne colle pas du tout avec ce que je recherche. Et d'après ce que je vois, il y a pas mal de formule pour $\omega$. Du coup… C'est quoi ce $\omega$ ? 
Et oui en chimie c'est ce que je fais tout le temps pour trouver des formules ou repérer les fautes, j'utilise les unités ! (Mon prof de première avait vraiment insisté sur ça, je me rend compte cette année à quel point il a raison).
Ton énergie mécanique est pas bonne, c'est une somme normalement, pas un produit. C'est juste ça le souci. Ensuite, je soustrairais $mgl$ pour simplifier l'expression de l'énergie mécanique, t'as le droit de le faire car l'énergie potentielle est définie à une constante près. Ah oui, c'est $\cos \Theta$, j'imagine que c'est une erreur de saisie.
Tu as bon sur la méthode ensuite. Et oui le développement limité est important, y'a que comme ça que tu peut obtenir l'équation différentielle linéaire.
Pour te persuader que ca marche trace la tangente du sinus en 0. Tu vois que quand t'es pas loin de 0 la tangente du sinus et le sinus c'est quasi pareil ? L'équation de la tangente en 0 du sinus c'est quoi ?
Ça devrait te convaincre que quand $x$ est suffisamment proche de 0 $\sin x \approx x$. Si tu injectes ça dans $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ ça donne:
Ensuite, prends ta calculatrice et regarde ce que valent $\sqrt{1-x^2}$ et $1-x^2/2$ quand $x$ est assez proche de 0. C'est quasi pareil non ? Donc ça veut dire que si $x$ est proche de 0 on a le droit de dire que:
Voilà, c'est ça les développements limités. Admets celui que je t'ai donné. On s'en sert beaucoup en physique pour simplifier les calculs. Quand j'étais en terminale je trouvais ça arnaqueux au possible mais mathématiquement tu le verras rigoureusement l'an prochain. Si ça t'intéresse jette un oeil au tuto d'Holosmos
Pour $\omega$, son unité est la $s^{-1}$. Ça s'appelle la pulsation.
Pour $\omega$, son unité est la $s^{-1}$. Ça s'appelle la pulsation.
Plus exactement, des radians par seconde (Mais bon, les radians n'ont pas de dimension).
Le nombre de tours (= $2 \pi$ radians) par seconde en gros.
J'ai fait exprès de pas mentionner les radians afin de ne pas embrouiller Wizix. Mais oui, c'est bien des radians par seconde.
Effectivement, ma formule n'est pas bonne (erreur de frappe seulement, sur le papier elle est correcte). Mais du coup je ne comprend pas pourquoi vouloir passer par les développements limités alors que je peux simplement dériver :
).
C'est juste ! Les développements limités sont utiles pour la résolution de l'équation. En effet, une équation linéaire est facile à résoudre.
Ah oui, je pensais qu'il fallait donner la version linéaire de l'équation différentielle.
Pfiou merci à vous j'ai bien crû que j'allais jamais pouvoir la réussir si il fallait passer par les développements limités !
Merci à vous, le gros plus c'est que j'ai parfaitement compris ce que j'ai fait, et ça, c'est top !
Cool ! Dans l'équation différentielle finale tu peux remplacer le sinus par simplement $\Theta$ si tu veux essayer de la résoudre. Les solutions sont alors de la forme $A\cos(\omega t + \phi)$ avec $A, \phi$ des constantes. Si tu poses $\theta_0$ la valeur de l'angle pour $t=0$ et que tu supposes qu'on lâche le pendule sans vitesde initiale (donc $\Theta^'(0)=0$), tu peux essayer de trouver les valeurs des constantes en injectant la forme de la solution dans l'équation différentielle et en en déduisant des conditions. Je sais qu'on te le demande pas mais je te dis ça quand même si tu as envie d'essayer la résolution complète, j'avais trouvé ça rigolo la première fois que je l'ai fait.
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