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Introduction aux développements limités

Outil incontournable de l'analyse, les développements limités procurent une manière très efficace pour résoudre des problèmes locaux et permettent d'entrevoir d'autres méthodes plus générales.

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Le sujet

S'il y a bien un objet que les mathématiques ont essayé de décrire, d'étudier et de penser depuis des millénaires, ce sont les polynômes. Tout au long de ce tutoriel, il sera question de développements limités, une merveilleuse manière de relier des fonctions très générales et des polynômes. La beauté venant du fait que les polynômes sont des objets très simples à un niveau local.

Les développements limités sont utiles dans de très nombreux domaines : en mathématiques bien sûr, mais aussi en physique et en informatique, pour ne citer qu'eux.

À qui s'adresse ce tutoriel ?

Ce tutoriel s'adresse à un lecteur déjà familier avec quelques éléments d'analyse réelle : dérivation, intégration, continuité, limites.

Malheureusement, tout ne pourra pas être défini mais cela ne devrait pas empêcher une bonne compréhension de l'exposé. Le but de ce tutoriel est de donner une approche claire et suffisamment formelle des développements limités. Il ne faut pas hésiter à combiner cette source avec d'autres, que ce soit pour plus d'exemples ou de définitions.

Développements limités

  1. Approche du sujet

    1. Pourquoi des développements limités

    2. Les voisinages de la droite réelle

  2. Définitions, propriétés et opérations

    1. Définitions

    2. Propriétés et opérations

  3. Compléments

    1. Contre-exemples et erreurs à ne pas commettre

    2. Développements limités de référence

    3. Études de cas

    4. Fonctions plates

Application : la méthode de Newton

  1. Construction et analyse de la méthode de Newton

    1. Les hypothèses et le cadre utilisé

    2. Construction de la méthode

    3. Analyse de la méthode

  2. Quelques exemples

    1. Une suite convergente vers racine de deux

    2. Une suite associée à une fonction plate



J'espère que par ce tuto vous aurez exploré en partie cet outil formidable. Les développements limités nous permettent d'étudier avec une précision arbitraire des problèmes locaux : limites, approximations, comparaisons, etc.

Le « miracle » se produit lors de l'établissement des opérations possibles. Les développements limités sont transparents aux opérations les plus classiques : somme, produit, composition. Cela nous permet de ne connaître qu'un petit nombre de développements de base et d'en déduire de nombreux autres.

Il est également apparu qu'admettre un développement limité à l'ordre $n\geq 2$ est moins fort que d'être dérivable $n$ fois. Cela réduit un peu moins les conditions pour lesquelles on peut utiliser cet outil.

Tout ce qui a été fait ici peut s'étendre facilement à des fonctions complexes et multi-dimensionnelles pour l'espace d'arrivée. Par exemple, l'étude des courbes et surfaces paramétrées se fait en grande partie par des outils comparables.

Je remercie chaleureusement @dri1 qui a validé ce contenu et qui m'a poussé à écrire la seconde partie pour appuyer l'utilité de telles notions. Je remercie également l'ensemble des « bêta-testeurs » et autres relecteurs qui m'ont fait part de leurs critiques constructives.

Il ne suffit pas d'apprendre à l'homme une spécialité. Car il devient ainsi une machine utilisable mais non une personnalité. Il importe qu'il acquière un sentiment, un sens pratique de ce qui vaut la peine d'être entrepris, de ce qui est beau, de ce qui est moralement droit.

A. Einstein - Éducation pour une pensée libre

12 commentaires

La présentation me ferait dire que c'est plutôt un cours qu'un tuto, mais en tous cas c'est un super boulot sur un domaine qui n'est pas évident à vulgariser. D'autant plus quand on sait que tu as repris ton travail initial, car ce n'est pas facile de se remettre sur un tuto que l'on considérait fini. D'ailleurs, ce n'était pas un "minituto" à l'origine plutôt qu'un big ?

Un exemple plus physique/math-appliqués des DL aurait été sympa également (mais bon, c'est plus facile à dire qu'à faire). Good job :D

Edit : La présentation de ton cours (Définitions et propriétés en noir, usage des lignes séparatrices …) devrait peut-être servir de base pour les futurs tuto full-math. On pourrait faire le lien avec la ligne éditoriale édictée plus tôt pour établir une "charte de présentation". :)

Édité

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Staff

La présentation me ferait dire que c'est plutôt un cours qu'un tuto, mais en tous cas c'est un super boulot sur un domaine qui n'est pas évident à vulgariser.

Kaji9

Merci !

Oui c'est plus un cours qu'un tutoriel. Mais j'ai du mal à voir comment ça aurait pu être autrement.

D'autant plus quand on sait que tu as repris ton travail initial, car ce n'est pas facile de se remettre sur un tuto que l'on considérait fini. D'ailleurs, ce n'était pas un "minituto" à l'origine plutôt qu'un big ?

Kaji9

Initialement, oui ! Mais plusieurs problèmes ont fait que je suis passé à ce format :

  • le chargement était beaucoup trop long à cause du Mathjax ;
  • il y avait besoin de rajouter pas mal de contenu.

Un exemple plus physique/math-appliqués des DL aurait été sympa également (mais bon, c'est plus facile à dire qu'à faire). Good job :D

Kaji9

Il ne faut pas trop sous-estimer l'importance de la méthode de Newton :-). Et ça n'était pas trop le but ici de faire des applications. Celle-ci permet d'illustrer le concept d'une manière un peu différente qu'un bête DL appliqué à une expression qu'on maitrise mal.

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

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Ayant déjà eu un cours dessus je pensais que je n'allais lire que des redites, mais c'est présenté d'une manière si formelle -et visiblement, plus complète que ce que j'ai eu-…

Je suis à la fois bloqué par le vocabulaire mathématiques (je ne comprend pas les phrases des mathématiciens, pourtant elles doivent être, je suppose, très précise et avoir un excellent sens, mais il me faudrait un dictionnaire réellement :'( ), et à la fois émerveillé par les possibilités. J'aime les développements limités.

Aussi un gros point bonus. Tu fais tout pour que ça reste interessant ! Même en n'ayant pas comprit intrinsèquement ce que voulais dire tes lignes de propriétés/vocabulaire, tu reformules beaucoup ! Et tu te donne de la peine pour qu'en fait, ce qui semble effrayant au début, soit finalement une simple formalité, et on s'habitue doucement au vocabulaire . j'me suis fais piéger ? (J'essaye de faire pareil dans mes écrits)

Нова Проспект

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Staff

Je suis à la fois bloqué par le vocabulaire mathématiques (je ne comprend pas les phrases des mathématiciens, pourtant elles doivent être, je suppose, très précise et avoir un excellent sens, mais il me faudrait un dictionnaire réellement :'( ), et à la fois émerveillé par les possibilités. J'aime les développements limités.

Aussi un gros point bonus. Tu fais tout pour que ça reste interessant ! Même en n'ayant pas comprit intrinsèquement ce que voulais dire tes lignes de propriétés/vocabulaire, tu reformules beaucoup ! Et tu te donne de la peine pour qu'en fait, ce qui semble effrayant au début, soit finalement une simple formalité, et on s'habitue doucement au vocabulaire . j'me suis fais piéger ? (J'essaye de faire pareil dans mes écrits)

Blackline

Je m'attendais à ce que ça soit abrupte. Mais je m'attendais aussi à ce que la partie introductive aide à donner le sens au vocabulaire utilisé. Est-ce que tu aurais un exemple où le vocabulaire utilisé est mal défini ?

Je suis heureux d'apprendre que tu as réussi à t'accrocher avec les reformulations. Je ne crois pas avoir mis de piège, donc tu peux avoir confiance en ce que tu as compris :-).

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

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Quand je parlais de Piège je parlais du fait d'être emporté dans le monde des maths, ce qui ressemble à un viole dit comme ça. Mais tu as su rendre ça agréable.

Je ne sais pas si c'est aussi poétique que je l'aurais voulu…


$f : I \rightarrow R$ où I est un intervalle de R […]Cela signifie exactement qu'il existe epsillon…

  • epsillon qui vient de nulle part
  • Je ne connais pas le sens de flèche
  • Je ne connais pas le sens de I

Mais c'est surement très propre au langage mathématique tout ça :) J'suis juste nul

Нова Проспект

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Staff

Ah. C'est vrai que j'ai pris pour acquis quelques notions ensemblistes. Je devrais sans doute refaire un point sur ce sujet.

Juste pour te répondre afin que tu puisses profiter du contenu :

  • $I$ est un intervalle de $\mathbf{R}$, c'est-à-dire de la forme $[a,b]$ ou $[a,b[$ ou $]a,b]$ ou $]a,b[$ avec $a<b$.
  • $\epsilon$ vient de la définition de la continuité que j'ai probablement redéfini avant ?
  • la flèche $\to$ est un symbole signifiant que $f$ est une application de $I$ dans $\mathbf{R}$.

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

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Merci pour ces réponses personnalisées, voici mon retour :

  • Dans la section "Pourquoi le Dev Lim", paragraphe sur "La continuité" on a un epsillon qui apparait… soit son sens est écrit strictement est je ne vois rien, soit il n'est pas défini pour ces premières lignes :p
  • Qu'est ce qu'une application ? Je sais j'dois vraiment pas être doué pour demander ça, mais au sens stricte du terme c'est quoi ? Une fonction valable dans I ? I est un fonction qui créer f ?

J'imagine que ça doit-être déroutant de lire ce que j'écris, mais il faut savoir que les sections que j'ai suivi (STL et DUT si ça t'interesse) ont supprimé tout ce formalisme <3 Et du coups on a des phrases plus douces pour nous expliquer ce que veulent dires les objets mathématiques et leurs lien :D C'est tout choupinou bisounours hein ?

Нова Проспект

+0 -0
Staff

Et bien ça vient de la définition de la limite, que je ne rappelle effectivement pas (mais bon, c'est niveau TS ça, non?). L'avantage ici, c'est que si tu connais pas la définition de la limite je te donne une définition équivalente à la continuité avec $\epsilon$. Du coup tu peux vraiment considérer que c'est la définition de la continuité.

Formellement (pour quelqu'un qui n'aime pas, tu en demandes !) une application est un ensemble (tout est ensemble en théorie des ensembles) $I\times f(I)$ appelé graphe de $f$ vérifiant la condition : si $(x,y)$ et $(x,z)$ appartiennent au graphe alors $y=z$. Cela exprime le fait que $f$ n'a qu'une seule image pour chaque élément.

En fait, ici on a pas besoin de spécifié $\mathbf{R}$ comme espace d'arrivé, mais quand on ne connait pas exactement le graphe de $f$ (ou autrement dit, son expression en fonction de $x$), on aime bien préciser à quoi ressemblent les valeurs prises par $f$.

PS : peut-être que tu ne sais pas ce que signifie $A\times B$. En fait c'est le produit cartésien de $A$ et $B$ : c'est l'ensemble des couples de la forme $(a,b)$ avec $a\in A$ et $b\in B$.

PS2 : et $f(I)$ désigne l'ensemble des éléments $f(x)$ avec $x\in I$ : c'est l'ensemble image de $I$ par $f$.

Édité par Holosmos

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

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Holosmos je n'ai pas le niveau TS, c'est ce que je te dis ^^ Je viens de STL, les STL ont beaucoup de science appliqués, Biologie, Physique, Chimie.

Les S ont énormément de maths comparé à nous, et ils ont des cours de Physique type Mécanique que nous n'avons pas. Voilà pourquoi, même si j'ai déjà fais des limites, ce n'était que calculatoire, ces définitions, je ne les connais pas par coeur du tout :D

Par exemple : *Une application est un ensemble appelé graphe vérifiant la condition *

Cette phrase, en Terminale nous aurait tous fait bugé lol. Heureusement c'était il y a longtemps ;). J'ai mieux compris maintenant, ça veut dire aussi, que toutes tes définitions se base sur des notions ensemblistes c'est ça ?

Нова Проспект

+0 -0
Staff

Cette phrase, en Terminale nous aurait tous fait bugé lol. Heureusement c'était il y a longtemps ;). J'ai mieux compris maintenant, ça veut dire aussi, que toutes tes définitions se base sur des notions ensemblistes c'est ça ?

Formellement, oui. Dans une énorme partie des maths, on travaille avec la théorie des ensembles qui formalise (plus ou moins) l'idée d'ensemble et permet de fonder une bonne partie des maths dessus. Tout se reformalise en termes d'ensembles puisque c'est le seul objet que la théorie des ensembles décrit.

Mais conceptuellement, il n'est pas très intéressant de ne penser qu'en termes ensemblistes (mais c'est bien de savoir que c'est possible). C'est pour ça qu'on voit encore des phrases du style « Soit $E$ un ensemble » alors que $E$ ne peut pas être autre chose qu'un ensemble …

En particulier, fun fact, tous les nombres sont des ensembles. Alors qu'on présente généralement les nombres comme une abstraction sur le cardinal des ensembles qu'ils représentent. En d'autre termes on nous dit « Quel est le point commun entre deux pommes et deux asticots ? Deux. » alors qu'en théorie des ensembles c'est plutôt « Deux c'est un ensemble de plusieurs éléments ».

PS : au passage, je trouve la partie dans le tuto de micmaths sur la question plutôt bien traitée.

Édité par Holosmos

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

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