Théorème et histoire de Pythagore

Comprendre le plus célèbre des théorèmes ses applications, son histoire ainsi que celle de l'homme qui lui a donné son nom.

Que vous aimiez les mathématiques ou que vous les détestiez, que vous soyez jeune ou vieux, il existe une propriété mathématique à côté de laquelle vous n’avez pu passer : le célèbre Théorème de Pythagore. Cette propriété géométrique est, à n’en pas douter, la plus célèbre de toutes. Vous ne la connaissez pas encore ? Vous ne l’avez pas comprise ? Vous n’en voyez pas l’utilité ? Ou peut-être voudriez-vous savoir qui était Pythagore et ce qu’il a fait pour devenir aussi célèbre ? Quel que soit votre cas, je me charge de tout vous expliquer.

Nous commencerons par aborder le théorème de Pythagore dans ce qu’il a de plus mathématique. Je vous expliquerai cette règle de géométrie essentielle, nous en verrons des applications dans la vie courante mais aussi des applications aux figures géométriques essentielles comme le triangle équilatéral, le carré ou le cube. Ce sera également l’occasion d’aborder quelques démonstrations avant de finir par les implications que le théorème a pu avoir sur diverses branches des mathématiques.

Dans un second temps, nous aborderons le théorème de Pythagore sous un angle historique. Nous verrons où et quand cette propriété fut découverte ainsi que son lien avec le célèbre mathématicien grec qui lui a donné son nom. L’histoire tant du théorème que de Pythagore est certainement très loin de ce que vous imaginez. Enfin, nous étudierons les idées et découvertes de Pythagore et ses élèves.

Si vous êtes intéressés par l’un ou/et l’autre aspect du théorème, alors je vous invite à lire ce tutoriel qui se veut abordable même pour ceux qui n’ont que des notions rudimentaires de géométrie.

Aspect mathématique

  1. Pythagore, à quoi ça sert ?

    1. Le problème de l'architecte

    2. Le problème du maçon et du charpentier

  2. Quelques preuves du théorème

    1. Démonstration d'Euclide par les triangles de même aire

    2. Démonstration de Liu Hui par découpage

    3. Démonstration par les triangles semblables

  3. Quelques exercices d'application

    1. Diagonales de rectangles et de carrés

    2. Diagonales de pavés et de cubes

    3. Hauteur d'un triangle

  4. Et si nous allions plus loin encore ?

    1. Norme euclidienne d'un espace à n dimensions

    2. Trigonométrie et théorème d'Al-Kashi

    3. Triplets pythagoriciens et dernier théorème de Fermat

Aspect historique

  1. Un théorème plus ancien que Pythagore

    1. La mythique Babylone

    2. Pendant ce temps en Égypte

  2. Pythagore de Samos, mythe ou réalité ?

    1. L'histoire fantastique de Pythagore

    2. L'école pythagoricienne, une secte plus qu'une école

  3. Les découvertes des pythagoriciens

    1. Musique

    2. Arithmétique

    3. Géométrie

    4. Astronomie

La lecture de ce tutoriel est désormais terminée, mais je vous invite à y revenir régulièrement car il s’enrichira certainement encore de conseils, de démonstrations, d’exercices ou d’éléments historiques. N’hésitez pas à me poser vos questions ou à me faire part de vos demandes et commentaires en vue d’une prochaine mise à jour.

11 commentaires

Bonsoir,

J'ai commencé à survoler ton tutoriel. J'avoue qu'au début, j'étais un peu sceptique, parce que je me disais : « Rofl, encore un tuto sur Pythagore, rien de bien innovant ni palpitant. » Mais en fait, je suis plutôt convaincu par ton travail. C'est bien expliqué, tu donnes une place importante à l'intuition, sans pour autant sacrifier la rigueur et la précision du contenu.

Je n'ai pas encore lu la partie sur l'histoire (en fait, je n'ai lu que les deux premier chapitres :D ), mais j'ai quand même un commentaire à faire, sur un petit point pédagogique. Ma remarque concerne le chapitre dans lequel tu donnes quelques démonstrations du théorème, et notamment celle avec le puzzle et les aires. Je pense que le lien entre le carré des longueurs et les aires mérite d'être plus détaillé. En effet, ton tutoriel s'adresse manifestement à des lecteurs pas spécialement spécialistes en la matière, mais simplement un peu curieux d'en savoir davantage. D'expérience, je peux affirmer que ce genre de lecteurs sont assez friands de liens entre géométrie et calcul, et en l'occurrence, la démonstration avec les puzzles en est une. Pourquoi ne pas profiter de l'occasion pour insister sur le fait que le théorème de Pythagore concerne non seulement les triangles rectangles, mais aussi les aires ?

Tant que j'y suis, il existe une autre démonstration de ce théorème que je trouve assez intéressante, car elle permet subtilement de parler d'identités remarquables, et parce qu'elle est beaucoup plus courte et à mon sens plus intuitive que celles que tu exposes. La démonstration à laquelle je pense consiste essentiellement cette image. Je sais que 4 preuves, ça fait peut-être beaucoup, et au final peut-être que ma proposition ne t'intéressera pas. Mais pour tout te dire, je pensais vraiment que tu présenterais cette preuve dans ton tutoriel et j'ai été surpris de ne pas la trouver. C'est pour ça que je j'évoque ici. ;)

Voilà pour ce que j'en pense !

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Merci du retour c_pages. ^^

Je prends note de ta remarque sur les aires, cela fera l'objet d'une prochaine MaJ. J'ai déjà quelques idées de compléments pour ce cours (comme un chapitre sur "les attendus du prof de Math" ou un point historique sur le théorème en extrême orient par exemple) et j'envisageais d'ajouter encore quelques démos. Celle que tu me présentes est effectivement très souvent citée, c'est ce qui m'a incité à ne pas la mettre dans un premier temps (justement pour éviter le côté « Rofl, encore un tuto sur Pythagore, rien de bien innovant ni palpitant. » :p ). Mais si le nombre de démos s'accroît, elle aura toute sa place.

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@Looping : Je ne sais pas encore exactement ce que j'y mettrais. L'idée serait d'avoir un chapitre expliquant comment rédiger correctement et éviter des erreurs classiques. Le théorème de Pythagore est souvent le premier véritable outil de démonstration que découvre les élèves au cours de leur scolarité. C'est souvent avec lui que l'on quitte le domaine du "ça ressemble à un angle droit" pour celui du "j'ai prouvé que c'est un angle droit". Il ne suffit pas d'avoir vaguement compris le principe pour réussir, il faut également prendre en compte qu'il s'agit d'un rendez-vous dans l'enseignement des Mathématiques : c'est le début de la démonstration et de la rédaction qui l'accompagne.

Ce sont ces aspects-là que je pensais évoquer. C'est vrai que c'est plus scolaire, alors à voir : faut-il l'éviter ou au contraire l'aborder tout en évitant le catalogue des "trucs à ne pas faire".

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Ton dernier gif est très connu. D'ailleurs, le mécanisme est exposé à la Cité des sciences de Paris (et doute aussi dans d'autres musées), exposition mathématiques. C'est une expo permanente, elle est plutôt bien foutue pour les gens qui n'y « comprennent rien aux maths » et qui veulent en savoir un peu plus. :)

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Salut à toi Kaji9, et merci pour ce cours que j'ai trouvé fort intéressant et dans lequel j'ai appris beaucoup de choses :) La méthode des babyloniens pour calculer la racine carrée d'un nombre m'a pas mal intrigué et j'ai essayé d'adapter la méthode pour le calcul d'une racine cubique, sans chercher à savoir si c'était même possible; J'ai pris au hasard 172, dont le cube est 5 088 448, et j'ai cherché à retomber sur 172, mais je n'ai pas réussi; C'est bien dommage puisque mon premier chiffre était bon (par grosse chance), une telle méthode existe-telle ?

EDIT : Au temps pour moi, après 2 minutes de recherche j'ai trouvé, ici ;)

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Merci du compliment eldoir. Je n'ai pas encore cherché pourquoi cette extraction de racine cubique fonctionne mais pour celle de la racine carrée, l'idée est en fait basée sur la formule $(a+b)^2 = a^2 + 2 a b + b^2$. Je suppose qu'il en va de même avec $(a+b)^3 = a^3 + 3 a^2 b + 3 a b^2 + b^3$ pour la racine cubique et que ce procédé peut être prolongé avec les racines nèmes.

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j'ai pas lu, (je lis en ce moment un bouquin qui parle des grands mathématiciens des 2500 dernières années, et le chapitre sur pythagore est passé y'a 2 jours… ça fait vite overdose :p ), mais j'apprécie le fait qu'on parle un peu de l'histoire du type, du comment de la découverte, et de son impact sur la suite.

d'ailleurs, le livre que je suis en train de lire, j'vais donner la référence, parce que je le trouve vraiment accessible et bien fait: "le théorème du perroquet" par Denis Guedj. ça reste un roman, avec des personnages fictifs, mais ce qui s'y dit sur les mathématiciens est très fourni et vraisemblable. donc à lire!

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Une petite demonstration que je trouve assez simple:

Quatres triangle rectangle equaux formant un triangle de cote (a + b)

Dans cette image, chaque triangle rectangle est equal, comme on peut le voir (ils ont les memes cotes, a, b, c).

On peut exprimer l’air du carre de cote c de 2 facons:

  1. Le cote fois le cote: $A_C = c^2$
  2. L’air du grand carre, moins les 4 triangles, ce qui nous donne: $A_C = (a + b)^2 - 4 \cdot \frac{1}{2}ab$

Simplification (roulement de tambourds :D ):

$$ \begin{aligned} c^2 &= (a + b)^2 - 4 \cdot \frac{1}{2}ab \\ c^2 &= a^2 + 2ab + b^2 - 2ab \\ c^2 &= a^2 + b^2 \\ \end{aligned} $$

Voila! :)

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On peut même finir cette démo autrement : il suffit de déplacer les triangles rectangles de façon à former deux rectangles de dimensions $a \times b$. Ils laissent ainsi vacants un carré de dimension $a \times a$. et un carré de dimension $b \times b$. L’égalité tombe alors toute seule sans notion d’algèbre. ;)

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