Les pourcentages : comment ça fonctionne déjà?
Lycéen ou étudiant, il arrive d’avoir déjà été confronté à des calculs de pourcentage sans vraiment savoir comment se débrouiller. Loin de moi l’idée de vous faire un cours exhaustif sur le sujet, je fournis ici quelques éléments qui seront utiles à certains.
- Quelques symboles utilisés...
- Kézako?
- Augmenter ou diminuer un prix
- Cas général
- Taux d'évolution réciproque
Quelques symboles utilisés...
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$\mathbf R$ : Ensemble des nombres réels.
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$\mathbf N$ : Ensemble des entiers naturels.
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$\in$ : appartient à…
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Une famille est une succession d’éléments indexés sur un ensemble $I$ (dit ensemble d’indexation). Pour $i \in I$, $a_i$ est un élément de la famille $(a_i)_{i \in I}$. On peut visualiser une famille comme une fonction qui à chaque $i$ associe un élément $a_i$. En particulier, une famille d’éléments indexés sur un ensemble d’entiers (naturels ou relatifs) peut être considérée comme une suite.
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Pour d’avantage de clarté, on écris $a_1 \times a_2 \times \dots \times a_n = \prod_{i=1}^{n} a_i$.
Kézako?
Soit $t \in \mathbf R$.
On écrit $\frac{t}{100} = t$ %, que l’on lit "t pourcent".
Si dans un panier on trouve $y$ cubes dont $x$ cubes de couleur bleu, alors il y a $(\frac{x}{y} \times 100)$ % de cubes de couleur bleu dans le panier.
Augmenter ou diminuer un prix
Notons $p \in \mathbf R$ le prix d’un objet. Ce prix augmente de $t$ %.
La question est la suivante : qu’est-t-il advenu de $p$?
Prenons le prix $p$ et ajoutons-y l’augmentation considérée :$p + p \times \frac{t}{100}$.
Cela revient à écrire $p \times 1 + p \times \frac{t}{100}$, puis en factorisant : $p \times [1 + \frac{t}{100}]$.
Si le prix diminue de $t$ %, il suffit de calculer $p \times 1 - p \times \frac{t}{100} = p \times [1 - \frac{t}{100}]$.
On appelle (1 + t) le coefficient multiplicateur associé à une hausse/baisse de $t$ %.
Selon le signe de $t$, on utilisera toujours la première formule.
Il suffit ainsi de résoudre une simple équation du premier dégré afin de retrouver le pourcentage d’inflation/de déflation.
Cas général
Soit $(p_i)_{0 \leqslant i \leqslant n}$ une famille d’éléments indexés sur $\{0, 1, \dots, n\}$ pour $n \in \mathbf N$, qui représente l’évolution d’un prix selon les taux d’évolution successifs regroupés dans la famille $(t_i)_{1 \leqslant i \leqslant n}$.
On a alors :
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$p_0 \times (1 + t_1) = p_1$
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$p_1 \times (1 + t_2) = [p_0 \times (1 + t_1)] \times (1 + t_2) = p_2$
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$p_2 \times (1 + t_3) = [(p_0 \times (1 + t_1)) \times (1 + t_2)] \times (1 + t_3) = p_3$
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$\dots$
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$p_0 \times (1 + t_1) \times (1 + t_2) \times \dots \times (1 + t_n) = p_n$.
Pour simplifier, on écrit $p_0 \times (1 + T) = p_n$ où T représente les taux d’évolutions successif qui s’appliquent sur notre prix ($1 + T$ est le coefficient multiplicateur pour passer de $p_0$ à $p_n$).
De ce fait, $1 + T = \displaystyle \prod_{i=1}^{n} (1 + t_i)$ et alors $T = (\displaystyle \prod_{i = 1}^{n} (1 + t_i)) - 1$.
Taux d'évolution réciproque
Le taux d’évolution réciproque du taux $t$, noté $t'$, est la baisse/la hausse que subit un prix déjà modifié pour retrouver sa valeur initiale
Prenons le prix $p$ et son taux d’évolution $t$. Le prix devient alors $P = p \times (1 + t)$. Quelle évolution doit subir ce prix pour retrouver sa valeur initiale $p$?
On note $t'$ le taux d’évolution réciproque de $t$, le coefficient multiplicateur de P est $1 + t'$ et alors : $P \times (1 + t') = p \times (1 + t) \times (1 + t') = p \iff (1 + t) \times (1 + t') = 1 \iff 1 + t' = \frac{1}{1 + t}$.
On aboutit enfin à la formule $t' = \frac{1}{1 + t} - 1$.
Avec ça, vous devriez être capable de résoudre de simples problèmes de pourcentages.
