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Les pourcentages : comment ça fonctionne déjà?

Billet pratique

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Lycéen ou étudiant, il arrive d’avoir déjà été confronté à des calculs de pourcentage sans vraiment savoir comment se débrouiller. Loin de moi l’idée de vous faire un cours exhaustif sur le sujet, je fournis ici quelques éléments qui seront utiles à certains.

Quelques symboles utilisés...

  • $\mathbf R$ : Ensemble des nombres réels.

  • $\mathbf N$ : Ensemble des entiers naturels.

  • $\in$ : appartient à…

  • Une famille est une succession d’éléments indexés sur un ensemble $I$ (dit ensemble d’indexation). Pour $i \in I$, $a_i$ est un élément de la famille $(a_i)_{i \in I}$. On peut visualiser une famille comme une fonction qui à chaque $i$ associe un élément $a_i$. En particulier, une famille d’éléments indexés sur un ensemble d’entiers (naturels ou relatifs) peut être considérée comme une suite.

  • Pour d’avantage de clarté, on écris $a_1 \times a_2 \times \dots \times a_n = \prod_{i=1}^{n} a_i$.

Kézako?

Soit $t \in \mathbf R$.

On écrit $\frac{t}{100} = t$ %, que l’on lit "t pourcent".

Si dans un panier on trouve $y$ cubes dont $x$ cubes de couleur bleu, alors il y a $(\frac{x}{y} \times 100)$ % de cubes de couleur bleu dans le panier.

Augmenter ou diminuer un prix

Notons $p \in \mathbf R$ le prix d’un objet. Ce prix augmente de $t$  %.

La question est la suivante : qu’est-t-il advenu de $p$?

Prenons le prix $p$ et ajoutons-y l’augmentation considérée :$p + p \times \frac{t}{100}$.

Cela revient à écrire $p \times 1 + p \times \frac{t}{100}$, puis en factorisant : $p \times [1 + \frac{t}{100}]$.

Si le prix diminue de $t$ %, il suffit de calculer $p \times 1 - p \times \frac{t}{100} = p \times [1 - \frac{t}{100}]$.

On appelle (1 + t) le coefficient multiplicateur associé à une hausse/baisse de $t$ %.

Selon le signe de $t$, on utilisera toujours la première formule.

Il suffit ainsi de résoudre une simple équation du premier dégré afin de retrouver le pourcentage d’inflation/de déflation.

Cas général

Soit $(p_i)_{0 \leqslant i \leqslant n}$ une famille d’éléments indexés sur $\{0, 1, \dots, n\}$ pour $n \in \mathbf N$, qui représente l’évolution d’un prix selon les taux d’évolution successifs regroupés dans la famille $(t_i)_{1 \leqslant i \leqslant n}$.

On a alors :

  • $p_0 \times (1 + t_1) = p_1$

  • $p_1 \times (1 + t_2) = [p_0 \times (1 + t_1)] \times (1 + t_2) = p_2$

  • $p_2 \times (1 + t_3) = [(p_0 \times (1 + t_1)) \times (1 + t_2)] \times (1 + t_3) = p_3$

  • $\dots$

  • $p_0 \times (1 + t_1) \times (1 + t_2) \times \dots \times (1 + t_n) = p_n$.

Pour simplifier, on écrit $p_0 \times (1 + T) = p_n$ où T représente les taux d’évolutions successif qui s’appliquent sur notre prix ($1 + T$ est le coefficient multiplicateur pour passer de $p_0$ à $p_n$).

De ce fait, $1 + T = \displaystyle \prod_{i=1}^{n} (1 + t_i)$ et alors $T = (\displaystyle \prod_{i = 1}^{n} (1 + t_i)) - 1$.

Taux d'évolution réciproque

Le taux d’évolution réciproque du taux $t$, noté $t'$, est la baisse/la hausse que subit un prix déjà modifié pour retrouver sa valeur initiale

Prenons le prix $p$ et son taux d’évolution $t$. Le prix devient alors $P = p \times (1 + t)$. Quelle évolution doit subir ce prix pour retrouver sa valeur initiale $p$?

On note $t'$ le taux d’évolution réciproque de $t$, le coefficient multiplicateur de P est $1 + t'$ et alors : $P \times (1 + t') = p \times (1 + t) \times (1 + t') = p \iff (1 + t) \times (1 + t') = 1 \iff 1 + t' = \frac{1}{1 + t}$.

On aboutit enfin à la formule $t' = \frac{1}{1 + t} - 1$.


Avec ça, vous devriez être capable de résoudre de simples problèmes de pourcentages.

5 commentaires

Je profite des tribunes libres pour libérer un peu d’espace dans ce que j’avais écris au sein ma biographie. Merci à tout le staff pour cette nouvelle feature! :D

Édité par anonyme

+2 -0

Ma question est : à qui s’adresse ce billet ? A mon avis le public n’est absolument pas défini. Quelqu’un à qui on doit expliquer ce qu’est un pourcentage va être largué quand tu parles de famille indexée… ou même quand tu dis des trucs du genre "t appartient à R"). Si tu veux vraiment atteindre le "curieux" (terme utilisé dans ton introduction), il va falloir simplifier ton discours.
Et il y aurait temment à dire, en développant un peu chaque paragraphe, même avec des mots simples, pour le curieux, du genre :

  • qu’est-ce qui est mieux, une promo "20% moins cher" ou une promo "20% de produit en plus"
  • pourquoi une diminution de 50% suivie d’une augmentation de 50% ne ramène pas au prix initial
  • pourquoi une croissance de 10% l’année N et 10% l’année N+1 n’équivaut pas à une croissance de 20%

Et si tu veux aller dans des tucs un peu plus complexes mais utile au curieux, il y a des trucs du genre prêt bancaire (combien ça me coute un prêt à t% sur 20 ans, à combien s’élèvent mes mensualités…)

Salut, j’avais rédigé le machin afin de mettre un ordre d’idée mathématique autours de la notion de pourcentage, très simple, pour permettre à des lycéens/étudiants de s’adonner à des calculs de pourcentage sans se prendre la tête à retrouver les formules.

En fait, l’introduction fausse complétement ce dessein, et je vais m’en charger de ce pas.

Édité par anonyme

+0 -0

Je rejoins Looping sur ses points. En particulier les prêts bancaires et j’imagine les épargnes, plans retraites sont intéressantes à traiter.

Ca mériterai un cours à soi tout seul je pense, et ça irait un peu au delà de la simple notion de pourcentages ! Vous pensez que ça intéresserait les gens d’écrire un cours là dessus et sur l’actualisation financière ?

Édité par Demandred

“Your manuscript is both good and original. But the part that is good is not original, and the part that is original is not good.” Attributed to Samuel Johnson

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