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Maths en images #4

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Aujourd’hui, nouveau dessin « sentimental » comme le précédent. Il ne porte pas sur un théorème en particulier mais plutôt sur un tableau de sensations.

Le dessin

Sans plus attendre, voici le dessin.

Formule de Wu.

Vous noterez que je l’ai nommé « formule de Wu ». Cela n’est pas sans raison.

Légende

Ce dessin intervient dans un exposé sur une formule de Wu en dimension 3. Cette formule est la suivante :

$$ {\rm Sq}^1 (w_2) = w_1w_2 + w_3$$

Ce qu’il faut observer, c’est que si la quantité $w_2$ s’annule alors le membre de gauche aussi (la fonction ${\rm Sq}^1$ est un morphisme de groupes abéliens et envoie donc $0$ sur $0$) et donc $w_3 = 0$.

En ajoutant à cette formule l’hypothèse $w_1=0$, on obtient trivialement que ${\rm Sq}^1(w_2)=0$ si, et seulement si, $w_3=0$. C’est ce que ce dessin représente.

La première boucle en bas représente l’objet $w_1$ (qui a une signification géométrique précise pouvant être assimilé à la façon dont se tort un objet). Les deux autres boucles qui sont dépendantes entre elles représentent $w_2$ et $w_3$. La boucle attaché à l’objet principal est $w_2$, et vous constatez que si l’on fait disparaitre $w_2$ (c’est-à-dire si on l’annule) alors $w_3$ tombe aussi (c’est-à-dire s’annule). Et si on fait tomber $w_3$ alors $w_2$ a des chances de tomber mais sans que ça soit non plus nécessaire (ce qui revient à dire que ${\rm Sq}^1(w_2)=0$).


3 commentaires

J’avoue ne pas avoir beaucoup d’expérience avec les maths derrière cette tribune, mais mes 30s de lecture éclair de la page Wikipédia sur les classes de Stiefel-Whitney sont sûrement suffisantes pour dire assez de bêtises. Personnellement, si tu m’avais mis la formule devant les yeux sans dessins, j’aurais peut être pensé "ok cool, juste la formule explicite du bockstein".

Je me demande un truc tout de même : tu as dessiné cette image juste pour illustrer la formule dans une présentation, ou tu réfléchis aussi aux concepts avec des images de ce style ? (Je suis un peu impressionné par le fait que tu associes une image à ce genre de formule).

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C’est avec ce genre de dessins que je pense mes maths. En fait je trouve qu’une formule c’est assez muet, il faut donner pas mal d’efforts pour avoir une interprétation.

Parfois on peut faire un dessin géométrique (comme dans mes premiers billets). Parfois c’est pas possible et il faut faire autrement.

C’est très personnel, chacun a ses façons de faire, mais moi j’aime représenter de cette manière, i.e. par un dessin même si ça doit être abstrait.

Certains ne font jamais le moindre dessin et pensent que les maths devraient s’en passer complètement… ce sont d’autres sensibilités que je ne partage pas.

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