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Paradoxe mathématique : comment gagner aux échecs en étant un mauvais joueur ?

Où comment combiner deux stratégies perdantes en une stratégie gagnante.

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Je vous propose dans ce billet de découvrir un petit "paradoxe" mathématique : comment gagner aux échecs contre un adversaire meilleur que vous sur tous les plans ?

Le jeu consiste à jouer deux parties d’échecs. Une victoire vaut 1 points, un match nul ou une défaite en rapportent 0. Le joueur qui à le plus de points après les deux parties à gagné. Si il y a égalité après deux parties, on continue de jouer jusqu’à ce qu’un des deux joueurs remporte une partie et passe devant aux points.

Vous disposer de deux stratégies à votre disposition : une stratégie agressive, et une stratégie défensive. Le problème est que votre adversaire est plus fort que vous : quel que soit la stratégie que vous adoptez, il a plus de chances de gagner que vous. Regardez plutôt les probabilités associées :

  • Stratégie Agressive : vous avez 45% de chances de gagner et 55% de chances de perdre.
  • Stratégie Défensive : vous avez 90% de chances de faire une égalité et 10% de chances de perdre.

Vous pouvez avant chaque partie choisir la stratégie que vous allez adopter pour cette partie. Comment faire pour avoir plus de 50% de battre votre adversaire à ce jeu ?

La réponse est donnée en commentaire :)

PS : Ce billet est inspiré d’un tweet de N. Taleb sur le sujet.



3 commentaires

Réponse: La stratégie consiste à jouer agressivement au premier tour, puis à jouer défensivement si on gagne, et agressivement si on perds. En cas de troisième partie, on joue agressivement.

Ce qui se passe sur les deux premières parties :

Regardons un peu les probabilités associées. Comme on commence à jouer agressivement, nous avons $45\%$ de chances de gagner la première partie. Dans ce cas, on joue défensivement la seconde partie, et on a alors 90% de faire un matche nul, ce qui nous assure la victoire finale (1 point contre zéro). Les probabilités de ce scénario sont de $45\%*90\% = 40.5\%$ de victoire (cas 1).

Si on perds la première partie (55% de chance), on joue agressivement la seconde. On a alors à nouveau 55% de perdre et le jeu s’arrête là. Cela donne $55\%*55\% = 30.25\%$ de chances de perdre (cas 2).

Il reste alors deux cas possibles : gagner la première partie, jouer défensif et perdre la seconde ($55\%*10\% = 4.5\%$ de chances que ça arrive) pour le premier cas (cas 3); et perdre la première partie, jouer agressive et gagner la seconde dans le second cas ($55\%*45\% = 24.75\%$ de probabilités) (cas 4). Dans les deux cas il y a égalité (1 point partout) et il faut jouer une 3éme partie.

Notez bien que nous avons couvert avec ces 4 cas tous les cas possibles. La somme des probabilités est bien égale à 1 : $40.5\% + 30.25\% + 4.5\% + 24.75\% = 100\%$.

Ce qui se passe en cas de 3éme partie :

Regardons maintenant ce qui se passe quand nous jouons une 3éme partie (ce qui arrive dans $24.75\%+4.5\% = 29.25\%$ des cas. Nous jouons alors toujours agressivement, ce qui nous donne $45\%$ de chances de gagner cette 3éme partie.

Nous gagnons donc dans deux cas :

  • Avec une victoire puis une égalité, ce qui arrive avec une probabilité de $45\%*90\% = 40.5\%$.
  • En cas d’égalité au bout de deux parties ($29.25\%$ de chance d’égalité) et avec une victoire. Ce qui arrive dans $29.24\%*45\% = 13.6\%$ des cas.

Nos probabilités totales de victoire avec cette stratégie sont donc de : $40.5\% + 13.6\% = 53.66\%$ de chances de victoire.

Nous avons donc réussi à trouver une stratégie qui combiner deux options perdantes en une stratégie gagnante avec plus de 50% de chances de victoire. :)

Astuce : vous pouvez faire un arbre pour visualiser plus facile le processus. Remarquez aussi qu’il n’y a jamais plus de 3 parties, car on ne joue pas défensif dans la 3éme partie si elle à lieu, donc elle conduit forcement à un perdant et un gagnant.

Pour aller plus loin :

Pour aller plus loin sur les mathématiques associées, vous pouvez lire cet article de la Mathematica association for america, ou lire le livre des auteurs de ce paradoxe. Ce paradoxe est souvent connu sous le nom de paradoxe de Dubins et Sauvage ou de martingale de Dubins et Sauvage. On le retrouve beaucoup comme conseil "magique" pour jouer à la roulette sur internet. Ce qui je vous déconseille fortement comme stratégie, la meilleure stratégie étant de ne pas jouer. :p

Dans le même genre, le paradoxe de Parrondo est un peu similaire.

Édité par Demandred

“Your manuscript is both good and original. But the part that is good is not original, and the part that is original is not good.” Attributed to Samuel Johnson

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Sympa ! Même si pour moi c’est pas vraiment un paradoxe :) Aussi, ça reflète assez bien la réalité dans le sens ou souvent aux échecs si on a un adversaire plus fort que soit, il est préférable de jouer très agressivement car alors psychologiquement on met plus de pression à cet adversaire qui à peur perdre contre quelqu’un de moins fort. Le jeu de défense n’amène que une phase technique qui assure la perte de la partie si l’adversaire est vraiment plus fort.

Aussi, les échecs ça n’est pas comme le poker, si l’adversaire est plus fort , sur $100$ parties tu en gagnes une, tandis qu’au poker on peut plus compter en pourcentages, car un mauvais joueur peut avoir la chance de battre un champion, alors que je vois mal un $1200$ battre Carlsen :p

Dans tous les cas, c’est toujours sympa ces petits "énigmes" :D Merci !

Édité par InaDeepThink

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J’arrive plus à retrouver la vidéo, mais il me semble me souvenir que Sciences Etonnantes avait fait une vidéo là-dessus. C’est peut-être dans sa vidéo traitant de la théorie des jeux.

Happiness is a warm puppy

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