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Approximer rapidement le carré d'un nombre flottant

Plus un aide mémoire pour moi, mais si ça peut aider quelqu'un pourquoi pas ?

Je cherchais récemment un moyen de calculer rapidement des carrés de nombres flottants sur mon Arduino. J’avais en tête quelque chose dans le style du fameux calcul de l’inverse de la racine carrée, mais après quelques minutes de recherche je n’ai pas réussi à mettre la main dessus. Du coup j’ai passé une vingtaine de minutes à bidouiller une solution.

Représentation des nombres flottants et calcul de multiplications

Le type float sur mon Arduino suit le standard IEEE754, ce qui signifie qu’il est représenté sous la forme d’une mantisse, un exposant biaisé et un bit de signe. Le layout en mémoire est le suivant :

Layout mémoire d'un flottant -- Vectorization: Stannered, CC BY-SA 3.0 http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/ , via Wikimedia Commons
Layout mémoire d’un flottant — Vectorization: Stannered, CC BY-SA 3.0 http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/ , via Wikimedia Commons

Plus mathématiquement, le nombre flottant nn est représenté par signe(n)×mantisse×2exposant−127\text{signe}(n) \times \text{mantisse} \times 2^{\text{exposant}-127}. Donc si on veut multiplier deux nombres mm et nn, on peut en gros procéder comme suit :

  • Ajouter les exposants;
  • Multiplier les mantisses;
  • Ajuster l’exposant final;
  • Mettre le bon signe.

En partant de cette idée on peut chercher une approximation du calcul du carré d’un nombre.

Calcul du carré, version 1

Calculer le carré d’un nombre nn, c’est calculer n×nn \times n. Puisque je cherche à produire une opération optimisée pour la vitesse, on peut se dire que l’on va uniquement traiter la partie qui consiste à additionner les exposants. En effet, c’est ce qui va jouer sur l’ordre de grandeur du résultat. Il suffit donc d’ajouter les deux exposants biaisés puis de soustraire le biais à l’exposant qui en résulte. Le problème de procéder ainsi est qu’il faut isoler l’exposant, le doubler puis le remettre à sa place. J’ai décidé de procéder avec moins de subtilité :

  • faire un décalage à gauche de toute la représentation binaire (ce qui revient à peu près à doubler la partie exposant);
  • Soustraire le biais;
  • Forcer le bit de signe à 0 (car un carré est positif).

Ce qui donne un code ressemblant à cela :

uint32_t k;
float x = 8.0;

/* Pour travailler sur la représentation binaire de x on force le compilateur
   à l'interpréter comme un entier non signé
   */
k = *(uint32_t *) & x;
/* On double (à peu près) l'exposant */
k <<= 1;
/* On soustrait le biais */
k -= 0x3f800000;
/* On force le bit de signe à zéro */
k &= 0x7fffffff;

Ce qui donne ce genre de résultat :

Première approximation du carré
Première approximation du carré

C’est assez correct, mais on remarque que l’approximation est systématiquement inférieure au vrai résultat. On peut faire mieux !

Calcul du carré, version 2 : la constante magique

Une technique courante pour ce genre de calcul est d’ajouter une constante "magique" sur la mantisse pour être au plus près du vrai résultat. Une personne subtile pourrait utiliser une méthode d’optimisation avancée pour la trouver. Mais si vous avez lu jusqu’ici, vous avez compris que pour moi la délicatesse n’a jamais été une option. Il n’y a que 8388608 valeurs possibles pour la mantisse, alors autant les essayer toutes et prendre la meilleure. :D

En commettant ces quelques lignes de Julia :

using CairoMakie

x = Float32.(-100:0.1:100)
true_value = x.^2

approx_sq(x::Float32, magic::UInt32) = begin
  i = reinterpret(UInt32, x)
  i <<= 1
  i -= UInt32(127<<23) - magic
  i &= UInt32((1<<31) - 1)
  reinterpret(Float32, i)
end

lines(x, true_value, label="x²", linewidth=4, axis=(xlabel="x",))
lines!(x, approx_sq.(x, zero(UInt32)), label="approx_sq(x)", linewidth=4)
axislegend(current_axis())
save("x_sq.png", current_figure())

function to_minimize(magic)
  approx_value = approx_sq.(x, magic)
  sum(abs2.(approx_value .- true_value))
end

possible_values = 0x00000000:0x007fffff
differences = zeros(length(possible_values))
Threads.@threads for (i,magic) ∈ collect(enumerate(possible_values))
  differences[i] = to_minimize(magic)
end
i,i_mini = findmin(differences)

differences = nothing


magic = possible_values[i_mini]
lines(x, true_value, label="x²", axis=(xlabel="x",), linewidth=4)
lines!(x, approx_sq.(x, magic), label="approx_sq_magic(x)", linewidth=4)
axislegend(current_axis())
save("x_sq_magic.png", current_figure())

On peut trouver la constante magique 0x000b7798 et produire les deux figures de ce billet. Cela donne le résultat présenté à la figure suivante :

Le code C++ pour le calcul est ainsi :

uint32_t k;
float x = 8.0;

/* Pour travailler sur la représentation binaire de x on force le compilateur
   à l'interpréter comme un entier non signé
   */
k = *(uint32_t *) & x;
/* On double (à peu près) l'exposant */
k <<= 1;
/* On soustrait le biais et on ajoute la constante magique*/
k -= 0x3f748868;
/* On force le bit de signe à zéro */
k &= 0x7fffffff;

Est-ce que c'est plus rapide ?

Oui.

float x;
uint32_t k;
int i;

unsigned long timestart;
unsigned long timestop;
unsigned long totaltime;

void setup() {
  Serial.begin(115200);
  while(!Serial) {;}
  Serial.println("Float multiply");
  x = 2;
  timestart=micros();
  for(i=0; i<1000; i++) {
    x = x*x;
  }
  timestop=micros();
  totaltime = (timestop - timestart);
  Serial.print(totaltime, DEC);
  Serial.println(" /1000 µs");
  Serial.println("Forbidden magic");
  x = 2;
  timestart=micros();
  for(i=0; i<1000; i++) {
    k = *(uint32_t *) & x;
    k <<= 1;
    k -= 0x3f748868;
    k &= 0x7fffffff;
    x = *(float*)& k;
  }
  timestop=micros();
  totaltime = (timestop - timestart);
  Serial.print(totaltime, DEC);
  Serial.println(" /1000 µs");

}

void loop() {

}

Float multiply
7 µs
Forbidden magic
2 µs

Voilà, un billet rédigé rapidement avant que j’oublie. C’est surtout pour que je puisse venir recopier ma solution facilement dans le futur. :p

4 commentaires

Salut,

Si t’as des tonnes de multiplications à faire, je doute que ce soit réellement plus rapide parce que ton vrai soucis sera d’avoir tes données qui passent correctement dans le cache, pouvoir exploiter un maximum de registres en même temps, et appeler les instructions processeurs efficacement. Je pense que les compilateurs seront meilleurs pour faire plein de multiplications (cas d’usage ultra courant) que plein d’opérations un peu plus bizarre, et au pire les performances seront similaires.

Case in point :

use std::time::Instant;
use ndarray::Array1;

const BEGIN: f32 = -100.;
const END: f32 = 100.;
const NDATA: usize = 100_000_000;

fn main() {
    let mut array = Array1::linspace(BEGIN, END, NDATA);

    let timer = Instant::now();
    array.mapv_inplace(|v| v * v);
    let timer = Instant::now() - timer;
    let sum = array.sum();
    println!("Multiply: {timer:?} (sum: {sum:.2e})");

    let mut array = Array1::linspace(BEGIN, END, NDATA);

    let timer = Instant::now();
    array.mapv_inplace(|v| {
        let mut vi = unsafe { std::mem::transmute::<f32, u32>(v) };
        vi <<= 1;
        vi -= 0x3f748868;
        vi &= 0x7fffffff;
        unsafe { std::mem::transmute::<u32, f32>(vi) }
    });
    let timer = Instant::now() - timer;
    let sum = array.sum();
    println!("'Fast' multiply: {timer:?} (sum: {sum:.2e})");
}

Donne (avec cargo run --release, on peut sûrement encore gagner en choisissant des options d’optimisations pour utiliser par exemple des instructions propres à la machine sur laquelle on tourne) :

Multiply: 55.676876ms (sum: 3.23e11)
'Fast' multiply: 57.204528ms (sum: 3.30e11)

Les quelques pourcents d’avantages pour le carré classique (ou v.powi(2), l’assembleur produit est le même) sont robustes à la répétition. Note qu’avec beaucoup moins de points (j’ai tenté avec 10610^6 d’abord), les timings (de l’ordre de ~400±100µ) sont très volatiles (avec toutefois un avantage systématique pour le vrai carré). Je suspecte que ta mesure ne vaut en fait pas grand chose, et en tout cas le facteur 3.5 que tu obtiens me parait très surprenant.

+1 -0

Salut ! Sur un processeur moderne je confirme que ça n’a pas d’intérêt, et ce n’est pas le genre d’optimisations que je rechercherais.

Par contre sur l’atmega328p, qui est le microcontrôleur 8bits au cœur de l’Arduino Uno ça permet bien d’optimiser le temps de calcul, puisqu’il n’y a pas de FPU et que les opérations sur les flottants sont réalisées "à la main" par le compilateur. C’est aussi pour ça que les gens utilisent généralement des représentations à virgule fixée. J’ai donné un exemple simple pour le billet mais en pratique j’ai expérimenté ça pour un calcul de fft, avec le même genre de gain de temps sur la section concernée. Si tu veux (et si j’y pense) je peux poster le code assembleur généré sur mon exemple ce soir pour que tu puisses y jeter une coup d’œil.

+5 -0

Salut,

Je suis intéressé par l’assembleur généré.

Cependant, il me vient quelques questions :

  • pourquoi ne pas faire de la virgule fixe pour ton usage si tu cherches la performance ? C’est ce qui est fait dans certains DSP il me semble.
  • de même pourquoi ne pas être sur des flottants 16 bits ? J’imagine que ça serait plus rapide, et peut-être même assez précis pour ton usage, voire plus précis que ton approximation peut-être ?
  • Est-ce qu’il n’y aurait pas d’autres approches simples et performantes ?
+0 -0

Et voici l’assembleur généré ! je vous ai marqué les deux boucle for en commentaire et le point d’entrée pour la multiplication des flottants.

Edit : Si jamais vous cherchez la liste des instructions AVR : http://ww1.microchip.com/downloads/en/devicedoc/atmel-0856-avr-instruction-set-manual.pdf


build/TestSquare.ino.elf:     file format elf32-avr


Disassembly of section .text:

00000000 <__vectors>:
   0:	0c 94 35 00 	jmp	0x6a	; 0x6a <__ctors_end>
   4:	0c 94 5d 00 	jmp	0xba	; 0xba <__bad_interrupt>
   8:	0c 94 5d 00 	jmp	0xba	; 0xba <__bad_interrupt>
   c:	0c 94 5d 00 	jmp	0xba	; 0xba <__bad_interrupt>
  10:	0c 94 5d 00 	jmp	0xba	; 0xba <__bad_interrupt>
  14:	0c 94 5d 00 	jmp	0xba	; 0xba <__bad_interrupt>
  18:	0c 94 5d 00 	jmp	0xba	; 0xba <__bad_interrupt>
  1c:	0c 94 5d 00 	jmp	0xba	; 0xba <__bad_interrupt>
  20:	0c 94 5d 00 	jmp	0xba	; 0xba <__bad_interrupt>
  24:	0c 94 5d 00 	jmp	0xba	; 0xba <__bad_interrupt>
  28:	0c 94 5d 00 	jmp	0xba	; 0xba <__bad_interrupt>
  2c:	0c 94 5d 00 	jmp	0xba	; 0xba <__bad_interrupt>
  30:	0c 94 5d 00 	jmp	0xba	; 0xba <__bad_interrupt>
  34:	0c 94 5d 00 	jmp	0xba	; 0xba <__bad_interrupt>
  38:	0c 94 5d 00 	jmp	0xba	; 0xba <__bad_interrupt>
  3c:	0c 94 5d 00 	jmp	0xba	; 0xba <__bad_interrupt>
  40:	0c 94 48 02 	jmp	0x490	; 0x490 <__vector_16>
  44:	0c 94 5d 00 	jmp	0xba	; 0xba <__bad_interrupt>
  48:	0c 94 16 02 	jmp	0x42c	; 0x42c <__vector_18>
  4c:	0c 94 f0 01 	jmp	0x3e0	; 0x3e0 <__vector_19>
  50:	0c 94 5d 00 	jmp	0xba	; 0xba <__bad_interrupt>
  54:	0c 94 5d 00 	jmp	0xba	; 0xba <__bad_interrupt>
  58:	0c 94 5d 00 	jmp	0xba	; 0xba <__bad_interrupt>
  5c:	0c 94 5d 00 	jmp	0xba	; 0xba <__bad_interrupt>
  60:	0c 94 5d 00 	jmp	0xba	; 0xba <__bad_interrupt>
  64:	0c 94 5d 00 	jmp	0xba	; 0xba <__bad_interrupt>

00000068 <__ctors_start>:
  68:	9b 03       	fmulsu	r17, r19

0000006a <__ctors_end>:
  6a:	11 24       	eor	r1, r1
  6c:	1f be       	out	0x3f, r1	; 63
  6e:	cf ef       	ldi	r28, 0xFF	; 255
  70:	d8 e0       	ldi	r29, 0x08	; 8
  72:	de bf       	out	0x3e, r29	; 62
  74:	cd bf       	out	0x3d, r28	; 61

00000076 <__do_copy_data>:
  76:	11 e0       	ldi	r17, 0x01	; 1
  78:	a0 e0       	ldi	r26, 0x00	; 0
  7a:	b1 e0       	ldi	r27, 0x01	; 1
  7c:	e0 e6       	ldi	r30, 0x60	; 96
  7e:	f9 e0       	ldi	r31, 0x09	; 9
  80:	02 c0       	rjmp	.+4      	; 0x86 <__do_copy_data+0x10>
  82:	05 90       	lpm	r0, Z+
  84:	0d 92       	st	X+, r0
  86:	a0 34       	cpi	r26, 0x40	; 64
  88:	b1 07       	cpc	r27, r17
  8a:	d9 f7       	brne	.-10     	; 0x82 <__do_copy_data+0xc>

0000008c <__do_clear_bss>:
  8c:	21 e0       	ldi	r18, 0x01	; 1
  8e:	a0 e4       	ldi	r26, 0x40	; 64
  90:	b1 e0       	ldi	r27, 0x01	; 1
  92:	01 c0       	rjmp	.+2      	; 0x96 <.do_clear_bss_start>

00000094 <.do_clear_bss_loop>:
  94:	1d 92       	st	X+, r1

00000096 <.do_clear_bss_start>:
  96:	a0 3f       	cpi	r26, 0xF0	; 240
  98:	b2 07       	cpc	r27, r18
  9a:	e1 f7       	brne	.-8      	; 0x94 <.do_clear_bss_loop>

0000009c <__do_global_ctors>:
  9c:	10 e0       	ldi	r17, 0x00	; 0
  9e:	c5 e3       	ldi	r28, 0x35	; 53
  a0:	d0 e0       	ldi	r29, 0x00	; 0
  a2:	04 c0       	rjmp	.+8      	; 0xac <__do_global_ctors+0x10>
  a4:	21 97       	sbiw	r28, 0x01	; 1
  a6:	fe 01       	movw	r30, r28
  a8:	0e 94 a8 04 	call	0x950	; 0x950 <__tablejump2__>
  ac:	c4 33       	cpi	r28, 0x34	; 52
  ae:	d1 07       	cpc	r29, r17
  b0:	c9 f7       	brne	.-14     	; 0xa4 <__do_global_ctors+0x8>
  b2:	0e 94 92 02 	call	0x524	; 0x524 <main>
  b6:	0c 94 ae 04 	jmp	0x95c	; 0x95c <_exit>

000000ba <__bad_interrupt>:
  ba:	0c 94 00 00 	jmp	0	; 0x0 <__vectors>

000000be <Print::write(unsigned char const*, unsigned int)>:
  be:	af 92       	push	r10
  c0:	bf 92       	push	r11
  c2:	cf 92       	push	r12
  c4:	df 92       	push	r13
  c6:	ef 92       	push	r14
  c8:	ff 92       	push	r15
  ca:	0f 93       	push	r16
  cc:	1f 93       	push	r17
  ce:	cf 93       	push	r28
  d0:	df 93       	push	r29
  d2:	6c 01       	movw	r12, r24
  d4:	7b 01       	movw	r14, r22
  d6:	8b 01       	movw	r16, r22
  d8:	04 0f       	add	r16, r20
  da:	15 1f       	adc	r17, r21
  dc:	eb 01       	movw	r28, r22
  de:	5e 01       	movw	r10, r28
  e0:	ae 18       	sub	r10, r14
  e2:	bf 08       	sbc	r11, r15
  e4:	c0 17       	cp	r28, r16
  e6:	d1 07       	cpc	r29, r17
  e8:	59 f0       	breq	.+22     	; 0x100 <Print::write(unsigned char const*, unsigned int)+0x42>
  ea:	69 91       	ld	r22, Y+
  ec:	d6 01       	movw	r26, r12
  ee:	ed 91       	ld	r30, X+
  f0:	fc 91       	ld	r31, X
  f2:	01 90       	ld	r0, Z+
  f4:	f0 81       	ld	r31, Z
  f6:	e0 2d       	mov	r30, r0
  f8:	c6 01       	movw	r24, r12
  fa:	09 95       	icall
  fc:	89 2b       	or	r24, r25
  fe:	79 f7       	brne	.-34     	; 0xde <Print::write(unsigned char const*, unsigned int)+0x20>
 100:	c5 01       	movw	r24, r10
 102:	df 91       	pop	r29
 104:	cf 91       	pop	r28
 106:	1f 91       	pop	r17
 108:	0f 91       	pop	r16
 10a:	ff 90       	pop	r15
 10c:	ef 90       	pop	r14
 10e:	df 90       	pop	r13
 110:	cf 90       	pop	r12
 112:	bf 90       	pop	r11
 114:	af 90       	pop	r10
 116:	08 95       	ret

00000118 <HardwareSerial::availableForWrite()>:
 118:	fc 01       	movw	r30, r24
 11a:	53 8d       	ldd	r21, Z+27	; 0x1b
 11c:	44 8d       	ldd	r20, Z+28	; 0x1c
 11e:	25 2f       	mov	r18, r21
 120:	30 e0       	ldi	r19, 0x00	; 0
 122:	84 2f       	mov	r24, r20
 124:	90 e0       	ldi	r25, 0x00	; 0
 126:	82 1b       	sub	r24, r18
 128:	93 0b       	sbc	r25, r19
 12a:	54 17       	cp	r21, r20
 12c:	10 f0       	brcs	.+4      	; 0x132 <HardwareSerial::availableForWrite()+0x1a>
 12e:	cf 96       	adiw	r24, 0x3f	; 63
 130:	08 95       	ret
 132:	01 97       	sbiw	r24, 0x01	; 1
 134:	08 95       	ret

00000136 <HardwareSerial::read()>:
 136:	fc 01       	movw	r30, r24
 138:	91 8d       	ldd	r25, Z+25	; 0x19
 13a:	82 8d       	ldd	r24, Z+26	; 0x1a
 13c:	98 17       	cp	r25, r24
 13e:	61 f0       	breq	.+24     	; 0x158 <HardwareSerial::read()+0x22>
 140:	a2 8d       	ldd	r26, Z+26	; 0x1a
 142:	ae 0f       	add	r26, r30
 144:	bf 2f       	mov	r27, r31
 146:	b1 1d       	adc	r27, r1
 148:	5d 96       	adiw	r26, 0x1d	; 29
 14a:	8c 91       	ld	r24, X
 14c:	92 8d       	ldd	r25, Z+26	; 0x1a
 14e:	9f 5f       	subi	r25, 0xFF	; 255
 150:	9f 73       	andi	r25, 0x3F	; 63
 152:	92 8f       	std	Z+26, r25	; 0x1a
 154:	90 e0       	ldi	r25, 0x00	; 0
 156:	08 95       	ret
 158:	8f ef       	ldi	r24, 0xFF	; 255
 15a:	9f ef       	ldi	r25, 0xFF	; 255
 15c:	08 95       	ret

0000015e <HardwareSerial::peek()>:
 15e:	fc 01       	movw	r30, r24
 160:	91 8d       	ldd	r25, Z+25	; 0x19
 162:	82 8d       	ldd	r24, Z+26	; 0x1a
 164:	98 17       	cp	r25, r24
 166:	31 f0       	breq	.+12     	; 0x174 <HardwareSerial::peek()+0x16>
 168:	82 8d       	ldd	r24, Z+26	; 0x1a
 16a:	e8 0f       	add	r30, r24
 16c:	f1 1d       	adc	r31, r1
 16e:	85 8d       	ldd	r24, Z+29	; 0x1d
 170:	90 e0       	ldi	r25, 0x00	; 0
 172:	08 95       	ret
 174:	8f ef       	ldi	r24, 0xFF	; 255
 176:	9f ef       	ldi	r25, 0xFF	; 255
 178:	08 95       	ret

0000017a <HardwareSerial::available()>:
 17a:	fc 01       	movw	r30, r24
 17c:	91 8d       	ldd	r25, Z+25	; 0x19
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 182:	90 e0       	ldi	r25, 0x00	; 0
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 188:	82 1b       	sub	r24, r18
 18a:	91 09       	sbc	r25, r1
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 18e:	99 27       	eor	r25, r25
 190:	08 95       	ret

00000192 <Serial0_available()>:
 192:	83 e5       	ldi	r24, 0x53	; 83
 194:	91 e0       	ldi	r25, 0x01	; 1
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 19a:	21 e0       	ldi	r18, 0x01	; 1
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 1a0:	20 e0       	ldi	r18, 0x00	; 0
 1a2:	82 2f       	mov	r24, r18
 1a4:	08 95       	ret

000001a6 <serialEventRun()>:
 1a6:	80 e0       	ldi	r24, 0x00	; 0
 1a8:	90 e0       	ldi	r25, 0x00	; 0
 1aa:	89 2b       	or	r24, r25
 1ac:	29 f0       	breq	.+10     	; 0x1b8 <serialEventRun()+0x12>
 1ae:	0e 94 c9 00 	call	0x192	; 0x192 <Serial0_available()>
 1b2:	81 11       	cpse	r24, r1
 1b4:	0c 94 00 00 	jmp	0	; 0x0 <__vectors>
 1b8:	08 95       	ret

000001ba <HardwareSerial::_tx_udr_empty_irq()>:
 1ba:	fc 01       	movw	r30, r24
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 1be:	a8 0f       	add	r26, r24
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 1c2:	b1 1d       	adc	r27, r1
 1c4:	a3 5a       	subi	r26, 0xA3	; 163
 1c6:	bf 4f       	sbci	r27, 0xFF	; 255
 1c8:	2c 91       	ld	r18, X
 1ca:	84 8d       	ldd	r24, Z+28	; 0x1c
 1cc:	90 e0       	ldi	r25, 0x00	; 0
 1ce:	01 96       	adiw	r24, 0x01	; 1
 1d0:	8f 73       	andi	r24, 0x3F	; 63
 1d2:	99 27       	eor	r25, r25
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 1d6:	a6 89       	ldd	r26, Z+22	; 0x16
 1d8:	b7 89       	ldd	r27, Z+23	; 0x17
 1da:	2c 93       	st	X, r18
 1dc:	a0 89       	ldd	r26, Z+16	; 0x10
 1de:	b1 89       	ldd	r27, Z+17	; 0x11
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 1e6:	8c 93       	st	X, r24
 1e8:	93 8d       	ldd	r25, Z+27	; 0x1b
 1ea:	84 8d       	ldd	r24, Z+28	; 0x1c
 1ec:	98 13       	cpse	r25, r24
 1ee:	06 c0       	rjmp	.+12     	; 0x1fc <HardwareSerial::_tx_udr_empty_irq()+0x42>
 1f0:	02 88       	ldd	r0, Z+18	; 0x12
 1f2:	f3 89       	ldd	r31, Z+19	; 0x13
 1f4:	e0 2d       	mov	r30, r0
 1f6:	80 81       	ld	r24, Z
 1f8:	8f 7d       	andi	r24, 0xDF	; 223
 1fa:	80 83       	st	Z, r24
 1fc:	08 95       	ret

000001fe <HardwareSerial::write(unsigned char)>:
 1fe:	ef 92       	push	r14
 200:	ff 92       	push	r15
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 20a:	ec 01       	movw	r28, r24
 20c:	81 e0       	ldi	r24, 0x01	; 1
 20e:	88 8f       	std	Y+24, r24	; 0x18
 210:	9b 8d       	ldd	r25, Y+27	; 0x1b
 212:	8c 8d       	ldd	r24, Y+28	; 0x1c
 214:	98 13       	cpse	r25, r24
 216:	1a c0       	rjmp	.+52     	; 0x24c <HardwareSerial::write(unsigned char)+0x4e>
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 21c:	80 81       	ld	r24, Z
 21e:	85 ff       	sbrs	r24, 5
 220:	15 c0       	rjmp	.+42     	; 0x24c <HardwareSerial::write(unsigned char)+0x4e>
 222:	9f b7       	in	r25, 0x3f	; 63
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 22c:	e8 89       	ldd	r30, Y+16	; 0x10
 22e:	f9 89       	ldd	r31, Y+17	; 0x11
 230:	80 81       	ld	r24, Z
 232:	83 70       	andi	r24, 0x03	; 3
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 238:	9f bf       	out	0x3f, r25	; 63
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 25e:	8e 11       	cpse	r24, r14
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 264:	07 fc       	sbrc	r0, 7
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 26e:	85 ff       	sbrs	r24, 5
 270:	f5 cf       	rjmp	.-22     	; 0x25c <HardwareSerial::write(unsigned char)+0x5e>
 272:	ce 01       	movw	r24, r28
 274:	0e 94 dd 00 	call	0x1ba	; 0x1ba <HardwareSerial::_tx_udr_empty_irq()>
 278:	f1 cf       	rjmp	.-30     	; 0x25c <HardwareSerial::write(unsigned char)+0x5e>
 27a:	eb 8d       	ldd	r30, Y+27	; 0x1b
 27c:	ec 0f       	add	r30, r28
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 28a:	f8 94       	cli
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 28e:	ea 89       	ldd	r30, Y+18	; 0x12
 290:	fb 89       	ldd	r31, Y+19	; 0x13
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 294:	80 62       	ori	r24, 0x20	; 32
 296:	cf cf       	rjmp	.-98     	; 0x236 <HardwareSerial::write(unsigned char)+0x38>

00000298 <HardwareSerial::flush()>:
 298:	cf 93       	push	r28
 29a:	df 93       	push	r29
 29c:	ec 01       	movw	r28, r24
 29e:	88 8d       	ldd	r24, Y+24	; 0x18
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 2a4:	aa 89       	ldd	r26, Y+18	; 0x12
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 2ac:	8c 91       	ld	r24, X
 2ae:	85 fd       	sbrc	r24, 5
 2b0:	03 c0       	rjmp	.+6      	; 0x2b8 <HardwareSerial::flush()+0x20>
 2b2:	80 81       	ld	r24, Z
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 2b8:	0f b6       	in	r0, 0x3f	; 63
 2ba:	07 fc       	sbrc	r0, 7
 2bc:	f7 cf       	rjmp	.-18     	; 0x2ac <HardwareSerial::flush()+0x14>
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 2c2:	f2 cf       	rjmp	.-28     	; 0x2a8 <HardwareSerial::flush()+0x10>
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 2ca:	ce 01       	movw	r24, r28
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 2d0:	e9 cf       	rjmp	.-46     	; 0x2a4 <HardwareSerial::flush()+0xc>
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000002d8 <micros>:
 2d8:	3f b7       	in	r19, 0x3f	; 63
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 2e0:	90 91 46 01 	lds	r25, 0x0146	; 0x800146 <timer0_overflow_count+0x1>
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 2ec:	26 b5       	in	r18, 0x26	; 38
 2ee:	a8 9b       	sbis	0x15, 0	; 21
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 2f2:	2f 3f       	cpi	r18, 0xFF	; 255
 2f4:	19 f0       	breq	.+6      	; 0x2fc <micros+0x24>
 2f6:	01 96       	adiw	r24, 0x01	; 1
 2f8:	a1 1d       	adc	r26, r1
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 2fc:	3f bf       	out	0x3f, r19	; 63
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 300:	a9 2f       	mov	r26, r25
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 31e:	d1 f7       	brne	.-12     	; 0x314 <micros+0x3c>
 320:	08 95       	ret

00000322 <Print::write(char const*) [clone .part.2] [clone .constprop.9]>:
 322:	fc 01       	movw	r30, r24
 324:	01 90       	ld	r0, Z+
 326:	00 20       	and	r0, r0
 328:	e9 f7       	brne	.-6      	; 0x324 <Print::write(char const*) [clone .part.2] [clone .constprop.9]+0x2>
 32a:	31 97       	sbiw	r30, 0x01	; 1
 32c:	af 01       	movw	r20, r30
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 330:	59 0b       	sbc	r21, r25
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 548:	10 92 81 00 	sts	0x0081, r1	; 0x800081 <__DATA_REGION_ORIGIN__+0x21>
 54c:	80 91 81 00 	lds	r24, 0x0081	; 0x800081 <__DATA_REGION_ORIGIN__+0x21>
 550:	82 60       	ori	r24, 0x02	; 2
 552:	80 93 81 00 	sts	0x0081, r24	; 0x800081 <__DATA_REGION_ORIGIN__+0x21>
 556:	80 91 81 00 	lds	r24, 0x0081	; 0x800081 <__DATA_REGION_ORIGIN__+0x21>
 55a:	81 60       	ori	r24, 0x01	; 1
 55c:	80 93 81 00 	sts	0x0081, r24	; 0x800081 <__DATA_REGION_ORIGIN__+0x21>
 560:	80 91 80 00 	lds	r24, 0x0080	; 0x800080 <__DATA_REGION_ORIGIN__+0x20>
 564:	81 60       	ori	r24, 0x01	; 1
 566:	80 93 80 00 	sts	0x0080, r24	; 0x800080 <__DATA_REGION_ORIGIN__+0x20>
 56a:	80 91 b1 00 	lds	r24, 0x00B1	; 0x8000b1 <__DATA_REGION_ORIGIN__+0x51>
 56e:	84 60       	ori	r24, 0x04	; 4
 570:	80 93 b1 00 	sts	0x00B1, r24	; 0x8000b1 <__DATA_REGION_ORIGIN__+0x51>
 574:	80 91 b0 00 	lds	r24, 0x00B0	; 0x8000b0 <__DATA_REGION_ORIGIN__+0x50>
 578:	81 60       	ori	r24, 0x01	; 1
 57a:	80 93 b0 00 	sts	0x00B0, r24	; 0x8000b0 <__DATA_REGION_ORIGIN__+0x50>
 57e:	80 91 7a 00 	lds	r24, 0x007A	; 0x80007a <__DATA_REGION_ORIGIN__+0x1a>
 582:	84 60       	ori	r24, 0x04	; 4
 584:	80 93 7a 00 	sts	0x007A, r24	; 0x80007a <__DATA_REGION_ORIGIN__+0x1a>
 588:	80 91 7a 00 	lds	r24, 0x007A	; 0x80007a <__DATA_REGION_ORIGIN__+0x1a>
 58c:	82 60       	ori	r24, 0x02	; 2
 58e:	80 93 7a 00 	sts	0x007A, r24	; 0x80007a <__DATA_REGION_ORIGIN__+0x1a>
 592:	80 91 7a 00 	lds	r24, 0x007A	; 0x80007a <__DATA_REGION_ORIGIN__+0x1a>
 596:	81 60       	ori	r24, 0x01	; 1
 598:	80 93 7a 00 	sts	0x007A, r24	; 0x80007a <__DATA_REGION_ORIGIN__+0x1a>
 59c:	80 91 7a 00 	lds	r24, 0x007A	; 0x80007a <__DATA_REGION_ORIGIN__+0x1a>
 5a0:	80 68       	ori	r24, 0x80	; 128
 5a2:	80 93 7a 00 	sts	0x007A, r24	; 0x80007a <__DATA_REGION_ORIGIN__+0x1a>
 5a6:	10 92 c1 00 	sts	0x00C1, r1	; 0x8000c1 <__DATA_REGION_ORIGIN__+0x61>
 5aa:	e0 91 63 01 	lds	r30, 0x0163	; 0x800163 <Serial+0x10>
 5ae:	f0 91 64 01 	lds	r31, 0x0164	; 0x800164 <Serial+0x11>
 5b2:	82 e0       	ldi	r24, 0x02	; 2
 5b4:	80 83       	st	Z, r24
 5b6:	e0 91 5f 01 	lds	r30, 0x015F	; 0x80015f <Serial+0xc>
 5ba:	f0 91 60 01 	lds	r31, 0x0160	; 0x800160 <Serial+0xd>
 5be:	10 82       	st	Z, r1
 5c0:	e0 91 61 01 	lds	r30, 0x0161	; 0x800161 <Serial+0xe>
 5c4:	f0 91 62 01 	lds	r31, 0x0162	; 0x800162 <Serial+0xf>
 5c8:	80 e1       	ldi	r24, 0x10	; 16
 5ca:	80 83       	st	Z, r24
 5cc:	10 92 6b 01 	sts	0x016B, r1	; 0x80016b <Serial+0x18>
 5d0:	e0 91 67 01 	lds	r30, 0x0167	; 0x800167 <Serial+0x14>
 5d4:	f0 91 68 01 	lds	r31, 0x0168	; 0x800168 <Serial+0x15>
 5d8:	86 e0       	ldi	r24, 0x06	; 6
 5da:	80 83       	st	Z, r24
 5dc:	e0 91 65 01 	lds	r30, 0x0165	; 0x800165 <Serial+0x12>
 5e0:	f0 91 66 01 	lds	r31, 0x0166	; 0x800166 <Serial+0x13>
 5e4:	80 81       	ld	r24, Z
 5e6:	80 61       	ori	r24, 0x10	; 16
 5e8:	80 83       	st	Z, r24
 5ea:	e0 91 65 01 	lds	r30, 0x0165	; 0x800165 <Serial+0x12>
 5ee:	f0 91 66 01 	lds	r31, 0x0166	; 0x800166 <Serial+0x13>
 5f2:	80 81       	ld	r24, Z
 5f4:	88 60       	ori	r24, 0x08	; 8
 5f6:	80 83       	st	Z, r24
 5f8:	e0 91 65 01 	lds	r30, 0x0165	; 0x800165 <Serial+0x12>
 5fc:	f0 91 66 01 	lds	r31, 0x0166	; 0x800166 <Serial+0x13>
 600:	80 81       	ld	r24, Z
 602:	80 68       	ori	r24, 0x80	; 128
 604:	80 83       	st	Z, r24
 606:	e0 91 65 01 	lds	r30, 0x0165	; 0x800165 <Serial+0x12>
 60a:	f0 91 66 01 	lds	r31, 0x0166	; 0x800166 <Serial+0x13>
 60e:	80 81       	ld	r24, Z
 610:	8f 7d       	andi	r24, 0xDF	; 223
 612:	80 83       	st	Z, r24
 614:	85 e1       	ldi	r24, 0x15	; 21
 616:	91 e0       	ldi	r25, 0x01	; 1
 618:	0e 94 e2 01 	call	0x3c4	; 0x3c4 <Print::println(char const*) [clone .constprop.6]>
 61c:	0e 94 6c 01 	call	0x2d8	; 0x2d8 <micros>
 620:	6b 01       	movw	r12, r22
 622:	7c 01       	movw	r14, r24
 624:	c0 92 4b 01 	sts	0x014B, r12	; 0x80014b <timestart>
 628:	d0 92 4c 01 	sts	0x014C, r13	; 0x80014c <timestart+0x1>
 62c:	e0 92 4d 01 	sts	0x014D, r14	; 0x80014d <timestart+0x2>
 630:	f0 92 4e 01 	sts	0x014E, r15	; 0x80014e <timestart+0x3>
 634:	c9 ee       	ldi	r28, 0xE9	; 233
 636:	d3 e0       	ldi	r29, 0x03	; 3
 638:	60 e0       	ldi	r22, 0x00	; 0
 63a:	70 e0       	ldi	r23, 0x00	; 0
 63c:	80 e0       	ldi	r24, 0x00	; 0
 63e:	90 e4       	ldi	r25, 0x40	; 64
 640:	21 97       	sbiw	r28, 0x01	; 1 <--- La boucle for pour les flottants
 642:	29 f0       	breq	.+10     	; 0x64e <main+0x12a>
 644:	9b 01       	movw	r18, r22
 646:	ac 01       	movw	r20, r24
 648:	0e 94 c8 03 	call	0x790	; 0x790 <__mulsf3>
 64c:	f9 cf       	rjmp	.-14     	; 0x640 <main+0x11c> <-- Fin de la boucle for
 64e:	28 ee       	ldi	r18, 0xE8	; 232
 650:	33 e0       	ldi	r19, 0x03	; 3
 652:	30 93 4a 01 	sts	0x014A, r19	; 0x80014a <i+0x1>
 656:	20 93 49 01 	sts	0x0149, r18	; 0x800149 <i>
 65a:	60 93 4f 01 	sts	0x014F, r22	; 0x80014f <x>
 65e:	70 93 50 01 	sts	0x0150, r23	; 0x800150 <x+0x1>
 662:	80 93 51 01 	sts	0x0151, r24	; 0x800151 <x+0x2>
 666:	90 93 52 01 	sts	0x0152, r25	; 0x800152 <x+0x3>
 66a:	0e 94 6c 01 	call	0x2d8	; 0x2d8 <micros>
 66e:	6c 19       	sub	r22, r12
 670:	7d 09       	sbc	r23, r13
 672:	8e 09       	sbc	r24, r14
 674:	9f 09       	sbc	r25, r15
 676:	4a e0       	ldi	r20, 0x0A	; 10
 678:	0e 94 9e 01 	call	0x33c	; 0x33c <Print::printNumber(unsigned long, unsigned char) [clone .constprop.5]>
 67c:	84 e2       	ldi	r24, 0x24	; 36
 67e:	91 e0       	ldi	r25, 0x01	; 1
 680:	0e 94 e2 01 	call	0x3c4	; 0x3c4 <Print::println(char const*) [clone .constprop.6]>
 684:	8f e2       	ldi	r24, 0x2F	; 47
 686:	91 e0       	ldi	r25, 0x01	; 1
 688:	0e 94 e2 01 	call	0x3c4	; 0x3c4 <Print::println(char const*) [clone .constprop.6]>
 68c:	80 e0       	ldi	r24, 0x00	; 0
 68e:	90 e0       	ldi	r25, 0x00	; 0
 690:	a0 e0       	ldi	r26, 0x00	; 0
 692:	b0 e4       	ldi	r27, 0x40	; 64
 694:	80 93 4f 01 	sts	0x014F, r24	; 0x80014f <x>
 698:	90 93 50 01 	sts	0x0150, r25	; 0x800150 <x+0x1>
 69c:	a0 93 51 01 	sts	0x0151, r26	; 0x800151 <x+0x2>
 6a0:	b0 93 52 01 	sts	0x0152, r27	; 0x800152 <x+0x3>
 6a4:	0e 94 6c 01 	call	0x2d8	; 0x2d8 <micros>
 6a8:	6b 01       	movw	r12, r22
 6aa:	7c 01       	movw	r14, r24
 6ac:	c0 92 4b 01 	sts	0x014B, r12	; 0x80014b <timestart>
 6b0:	d0 92 4c 01 	sts	0x014C, r13	; 0x80014c <timestart+0x1>
 6b4:	e0 92 4d 01 	sts	0x014D, r14	; 0x80014d <timestart+0x2>
 6b8:	f0 92 4e 01 	sts	0x014E, r15	; 0x80014e <timestart+0x3>
 6bc:	29 ee       	ldi	r18, 0xE9	; 233
 6be:	33 e0       	ldi	r19, 0x03	; 3
 6c0:	21 50       	subi	r18, 0x01	; 1
 6c2:	31 09       	sbc	r19, r1; <---- boucle for pour le bidouillage
 6c4:	d1 f0       	breq	.+52     	; 0x6fa <main+0x1d6>
 6c6:	80 91 4f 01 	lds	r24, 0x014F	; 0x80014f <x>
 6ca:	90 91 50 01 	lds	r25, 0x0150	; 0x800150 <x+0x1>
 6ce:	a0 91 51 01 	lds	r26, 0x0151	; 0x800151 <x+0x2>
 6d2:	b0 91 52 01 	lds	r27, 0x0152	; 0x800152 <x+0x3>
 6d6:	88 0f       	add	r24, r24
 6d8:	99 1f       	adc	r25, r25
 6da:	aa 1f       	adc	r26, r26
 6dc:	bb 1f       	adc	r27, r27
 6de:	88 56       	subi	r24, 0x68	; 104 <--- Bien caché
 6e0:	98 48       	sbci	r25, 0x88	; 136 <--- Vous avez
 6e2:	a4 47       	sbci	r26, 0x74	; 116 <--- La constante
 6e4:	bf 43       	sbci	r27, 0x3F	; 63  <--- magique
 6e6:	bf 77       	andi	r27, 0x7F	; 127
 6e8:	80 93 4f 01 	sts	0x014F, r24	; 0x80014f <x>
 6ec:	90 93 50 01 	sts	0x0150, r25	; 0x800150 <x+0x1>
 6f0:	a0 93 51 01 	sts	0x0151, r26	; 0x800151 <x+0x2>
 6f4:	b0 93 52 01 	sts	0x0152, r27	; 0x800152 <x+0x3>
 6f8:	e3 cf       	rjmp	.-58     	; 0x6c0 <main+0x19c> <--- fin de la boucle for
 6fa:	88 ee       	ldi	r24, 0xE8	; 232
 6fc:	93 e0       	ldi	r25, 0x03	; 3
 6fe:	90 93 4a 01 	sts	0x014A, r25	; 0x80014a <i+0x1>
 702:	80 93 49 01 	sts	0x0149, r24	; 0x800149 <i>
 706:	0e 94 6c 01 	call	0x2d8	; 0x2d8 <micros>
 70a:	6c 19       	sub	r22, r12
 70c:	7d 09       	sbc	r23, r13
 70e:	8e 09       	sbc	r24, r14
 710:	9f 09       	sbc	r25, r15
 712:	4a e0       	ldi	r20, 0x0A	; 10
 714:	0e 94 9e 01 	call	0x33c	; 0x33c <Print::printNumber(unsigned long, unsigned char) [clone .constprop.5]>
 718:	84 e2       	ldi	r24, 0x24	; 36
 71a:	91 e0       	ldi	r25, 0x01	; 1
 71c:	0e 94 e2 01 	call	0x3c4	; 0x3c4 <Print::println(char const*) [clone .constprop.6]>
 720:	c0 e0       	ldi	r28, 0x00	; 0
 722:	d0 e0       	ldi	r29, 0x00	; 0
 724:	20 97       	sbiw	r28, 0x00	; 0
 726:	f1 f3       	breq	.-4      	; 0x724 <main+0x200>
 728:	0e 94 c9 00 	call	0x192	; 0x192 <Serial0_available()>
 72c:	88 23       	and	r24, r24
 72e:	d1 f3       	breq	.-12     	; 0x724 <main+0x200>
 730:	0e 94 00 00 	call	0	; 0x0 <__vectors>
 734:	f7 cf       	rjmp	.-18     	; 0x724 <main+0x200>

00000736 <_GLOBAL__sub_I___vector_18>:
 736:	e3 e5       	ldi	r30, 0x53	; 83
 738:	f1 e0       	ldi	r31, 0x01	; 1
 73a:	13 82       	std	Z+3, r1	; 0x03
 73c:	12 82       	std	Z+2, r1	; 0x02
 73e:	88 ee       	ldi	r24, 0xE8	; 232
 740:	93 e0       	ldi	r25, 0x03	; 3
 742:	a0 e0       	ldi	r26, 0x00	; 0
 744:	b0 e0       	ldi	r27, 0x00	; 0
 746:	84 83       	std	Z+4, r24	; 0x04
 748:	95 83       	std	Z+5, r25	; 0x05
 74a:	a6 83       	std	Z+6, r26	; 0x06
 74c:	b7 83       	std	Z+7, r27	; 0x07
 74e:	84 e0       	ldi	r24, 0x04	; 4
 750:	91 e0       	ldi	r25, 0x01	; 1
 752:	91 83       	std	Z+1, r25	; 0x01
 754:	80 83       	st	Z, r24
 756:	85 ec       	ldi	r24, 0xC5	; 197
 758:	90 e0       	ldi	r25, 0x00	; 0
 75a:	95 87       	std	Z+13, r25	; 0x0d
 75c:	84 87       	std	Z+12, r24	; 0x0c
 75e:	84 ec       	ldi	r24, 0xC4	; 196
 760:	90 e0       	ldi	r25, 0x00	; 0
 762:	97 87       	std	Z+15, r25	; 0x0f
 764:	86 87       	std	Z+14, r24	; 0x0e
 766:	80 ec       	ldi	r24, 0xC0	; 192
 768:	90 e0       	ldi	r25, 0x00	; 0
 76a:	91 8b       	std	Z+17, r25	; 0x11
 76c:	80 8b       	std	Z+16, r24	; 0x10
 76e:	81 ec       	ldi	r24, 0xC1	; 193
 770:	90 e0       	ldi	r25, 0x00	; 0
 772:	93 8b       	std	Z+19, r25	; 0x13
 774:	82 8b       	std	Z+18, r24	; 0x12
 776:	82 ec       	ldi	r24, 0xC2	; 194
 778:	90 e0       	ldi	r25, 0x00	; 0
 77a:	95 8b       	std	Z+21, r25	; 0x15
 77c:	84 8b       	std	Z+20, r24	; 0x14
 77e:	86 ec       	ldi	r24, 0xC6	; 198
 780:	90 e0       	ldi	r25, 0x00	; 0
 782:	97 8b       	std	Z+23, r25	; 0x17
 784:	86 8b       	std	Z+22, r24	; 0x16
 786:	11 8e       	std	Z+25, r1	; 0x19
 788:	12 8e       	std	Z+26, r1	; 0x1a
 78a:	13 8e       	std	Z+27, r1	; 0x1b
 78c:	14 8e       	std	Z+28, r1	; 0x1c
 78e:	08 95       	ret

00000790 <__mulsf3>: <-- L'implémentation de la multiplication des flottants
 790:	0e 94 db 03 	call	0x7b6	; 0x7b6 <__mulsf3x>
 794:	0c 94 4c 04 	jmp	0x898	; 0x898 <__fp_round>
 798:	0e 94 3e 04 	call	0x87c	; 0x87c <__fp_pscA>
 79c:	38 f0       	brcs	.+14     	; 0x7ac <__mulsf3+0x1c>
 79e:	0e 94 45 04 	call	0x88a	; 0x88a <__fp_pscB>
 7a2:	20 f0       	brcs	.+8      	; 0x7ac <__mulsf3+0x1c>
 7a4:	95 23       	and	r25, r21
 7a6:	11 f0       	breq	.+4      	; 0x7ac <__mulsf3+0x1c>
 7a8:	0c 94 35 04 	jmp	0x86a	; 0x86a <__fp_inf>
 7ac:	0c 94 3b 04 	jmp	0x876	; 0x876 <__fp_nan>
 7b0:	11 24       	eor	r1, r1
 7b2:	0c 94 80 04 	jmp	0x900	; 0x900 <__fp_szero>

000007b6 <__mulsf3x>:
 7b6:	0e 94 5d 04 	call	0x8ba	; 0x8ba <__fp_split3>
 7ba:	70 f3       	brcs	.-36     	; 0x798 <__mulsf3+0x8>

000007bc <__mulsf3_pse>:
 7bc:	95 9f       	mul	r25, r21
 7be:	c1 f3       	breq	.-16     	; 0x7b0 <__mulsf3+0x20>
 7c0:	95 0f       	add	r25, r21
 7c2:	50 e0       	ldi	r21, 0x00	; 0
 7c4:	55 1f       	adc	r21, r21
 7c6:	62 9f       	mul	r22, r18
 7c8:	f0 01       	movw	r30, r0
 7ca:	72 9f       	mul	r23, r18
 7cc:	bb 27       	eor	r27, r27
 7ce:	f0 0d       	add	r31, r0
 7d0:	b1 1d       	adc	r27, r1
 7d2:	63 9f       	mul	r22, r19
 7d4:	aa 27       	eor	r26, r26
 7d6:	f0 0d       	add	r31, r0
 7d8:	b1 1d       	adc	r27, r1
 7da:	aa 1f       	adc	r26, r26
 7dc:	64 9f       	mul	r22, r20
 7de:	66 27       	eor	r22, r22
 7e0:	b0 0d       	add	r27, r0
 7e2:	a1 1d       	adc	r26, r1
 7e4:	66 1f       	adc	r22, r22
 7e6:	82 9f       	mul	r24, r18
 7e8:	22 27       	eor	r18, r18
 7ea:	b0 0d       	add	r27, r0
 7ec:	a1 1d       	adc	r26, r1
 7ee:	62 1f       	adc	r22, r18
 7f0:	73 9f       	mul	r23, r19
 7f2:	b0 0d       	add	r27, r0
 7f4:	a1 1d       	adc	r26, r1
 7f6:	62 1f       	adc	r22, r18
 7f8:	83 9f       	mul	r24, r19
 7fa:	a0 0d       	add	r26, r0
 7fc:	61 1d       	adc	r22, r1
 7fe:	22 1f       	adc	r18, r18
 800:	74 9f       	mul	r23, r20
 802:	33 27       	eor	r19, r19
 804:	a0 0d       	add	r26, r0
 806:	61 1d       	adc	r22, r1
 808:	23 1f       	adc	r18, r19
 80a:	84 9f       	mul	r24, r20
 80c:	60 0d       	add	r22, r0
 80e:	21 1d       	adc	r18, r1
 810:	82 2f       	mov	r24, r18
 812:	76 2f       	mov	r23, r22
 814:	6a 2f       	mov	r22, r26
 816:	11 24       	eor	r1, r1
 818:	9f 57       	subi	r25, 0x7F	; 127
 81a:	50 40       	sbci	r21, 0x00	; 0
 81c:	9a f0       	brmi	.+38     	; 0x844 <__mulsf3_pse+0x88>
 81e:	f1 f0       	breq	.+60     	; 0x85c <__mulsf3_pse+0xa0>
 820:	88 23       	and	r24, r24
 822:	4a f0       	brmi	.+18     	; 0x836 <__mulsf3_pse+0x7a>
 824:	ee 0f       	add	r30, r30
 826:	ff 1f       	adc	r31, r31
 828:	bb 1f       	adc	r27, r27
 82a:	66 1f       	adc	r22, r22
 82c:	77 1f       	adc	r23, r23
 82e:	88 1f       	adc	r24, r24
 830:	91 50       	subi	r25, 0x01	; 1
 832:	50 40       	sbci	r21, 0x00	; 0
 834:	a9 f7       	brne	.-22     	; 0x820 <__mulsf3_pse+0x64>
 836:	9e 3f       	cpi	r25, 0xFE	; 254
 838:	51 05       	cpc	r21, r1
 83a:	80 f0       	brcs	.+32     	; 0x85c <__mulsf3_pse+0xa0>
 83c:	0c 94 35 04 	jmp	0x86a	; 0x86a <__fp_inf>
 840:	0c 94 80 04 	jmp	0x900	; 0x900 <__fp_szero>
 844:	5f 3f       	cpi	r21, 0xFF	; 255
 846:	e4 f3       	brlt	.-8      	; 0x840 <__mulsf3_pse+0x84>
 848:	98 3e       	cpi	r25, 0xE8	; 232
 84a:	d4 f3       	brlt	.-12     	; 0x840 <__mulsf3_pse+0x84>
 84c:	86 95       	lsr	r24
 84e:	77 95       	ror	r23
 850:	67 95       	ror	r22
 852:	b7 95       	ror	r27
 854:	f7 95       	ror	r31
 856:	e7 95       	ror	r30
 858:	9f 5f       	subi	r25, 0xFF	; 255
 85a:	c1 f7       	brne	.-16     	; 0x84c <__mulsf3_pse+0x90>
 85c:	fe 2b       	or	r31, r30
 85e:	88 0f       	add	r24, r24
 860:	91 1d       	adc	r25, r1
 862:	96 95       	lsr	r25
 864:	87 95       	ror	r24
 866:	97 f9       	bld	r25, 7
 868:	08 95       	ret

0000086a <__fp_inf>:
 86a:	97 f9       	bld	r25, 7
 86c:	9f 67       	ori	r25, 0x7F	; 127
 86e:	80 e8       	ldi	r24, 0x80	; 128
 870:	70 e0       	ldi	r23, 0x00	; 0
 872:	60 e0       	ldi	r22, 0x00	; 0
 874:	08 95       	ret

00000876 <__fp_nan>:
 876:	9f ef       	ldi	r25, 0xFF	; 255
 878:	80 ec       	ldi	r24, 0xC0	; 192
 87a:	08 95       	ret

0000087c <__fp_pscA>:
 87c:	00 24       	eor	r0, r0
 87e:	0a 94       	dec	r0
 880:	16 16       	cp	r1, r22
 882:	17 06       	cpc	r1, r23
 884:	18 06       	cpc	r1, r24
 886:	09 06       	cpc	r0, r25
 888:	08 95       	ret

0000088a <__fp_pscB>:
 88a:	00 24       	eor	r0, r0
 88c:	0a 94       	dec	r0
 88e:	12 16       	cp	r1, r18
 890:	13 06       	cpc	r1, r19
 892:	14 06       	cpc	r1, r20
 894:	05 06       	cpc	r0, r21
 896:	08 95       	ret

00000898 <__fp_round>:
 898:	09 2e       	mov	r0, r25
 89a:	03 94       	inc	r0
 89c:	00 0c       	add	r0, r0
 89e:	11 f4       	brne	.+4      	; 0x8a4 <__fp_round+0xc>
 8a0:	88 23       	and	r24, r24
 8a2:	52 f0       	brmi	.+20     	; 0x8b8 <__fp_round+0x20>
 8a4:	bb 0f       	add	r27, r27
 8a6:	40 f4       	brcc	.+16     	; 0x8b8 <__fp_round+0x20>
 8a8:	bf 2b       	or	r27, r31
 8aa:	11 f4       	brne	.+4      	; 0x8b0 <__fp_round+0x18>
 8ac:	60 ff       	sbrs	r22, 0
 8ae:	04 c0       	rjmp	.+8      	; 0x8b8 <__fp_round+0x20>
 8b0:	6f 5f       	subi	r22, 0xFF	; 255
 8b2:	7f 4f       	sbci	r23, 0xFF	; 255
 8b4:	8f 4f       	sbci	r24, 0xFF	; 255
 8b6:	9f 4f       	sbci	r25, 0xFF	; 255
 8b8:	08 95       	ret

000008ba <__fp_split3>:
 8ba:	57 fd       	sbrc	r21, 7
 8bc:	90 58       	subi	r25, 0x80	; 128
 8be:	44 0f       	add	r20, r20
 8c0:	55 1f       	adc	r21, r21
 8c2:	59 f0       	breq	.+22     	; 0x8da <__fp_splitA+0x10>
 8c4:	5f 3f       	cpi	r21, 0xFF	; 255
 8c6:	71 f0       	breq	.+28     	; 0x8e4 <__fp_splitA+0x1a>
 8c8:	47 95       	ror	r20

000008ca <__fp_splitA>:
 8ca:	88 0f       	add	r24, r24
 8cc:	97 fb       	bst	r25, 7
 8ce:	99 1f       	adc	r25, r25
 8d0:	61 f0       	breq	.+24     	; 0x8ea <__fp_splitA+0x20>
 8d2:	9f 3f       	cpi	r25, 0xFF	; 255
 8d4:	79 f0       	breq	.+30     	; 0x8f4 <__fp_splitA+0x2a>
 8d6:	87 95       	ror	r24
 8d8:	08 95       	ret
 8da:	12 16       	cp	r1, r18
 8dc:	13 06       	cpc	r1, r19
 8de:	14 06       	cpc	r1, r20
 8e0:	55 1f       	adc	r21, r21
 8e2:	f2 cf       	rjmp	.-28     	; 0x8c8 <__fp_split3+0xe>
 8e4:	46 95       	lsr	r20
 8e6:	f1 df       	rcall	.-30     	; 0x8ca <__fp_splitA>
 8e8:	08 c0       	rjmp	.+16     	; 0x8fa <__fp_splitA+0x30>
 8ea:	16 16       	cp	r1, r22
 8ec:	17 06       	cpc	r1, r23
 8ee:	18 06       	cpc	r1, r24
 8f0:	99 1f       	adc	r25, r25
 8f2:	f1 cf       	rjmp	.-30     	; 0x8d6 <__fp_splitA+0xc>
 8f4:	86 95       	lsr	r24
 8f6:	71 05       	cpc	r23, r1
 8f8:	61 05       	cpc	r22, r1
 8fa:	08 94       	sec
 8fc:	08 95       	ret

000008fe <__fp_zero>:
 8fe:	e8 94       	clt

00000900 <__fp_szero>:
 900:	bb 27       	eor	r27, r27
 902:	66 27       	eor	r22, r22
 904:	77 27       	eor	r23, r23
 906:	cb 01       	movw	r24, r22
 908:	97 f9       	bld	r25, 7
 90a:	08 95       	ret

0000090c <__udivmodsi4>:
 90c:	a1 e2       	ldi	r26, 0x21	; 33
 90e:	1a 2e       	mov	r1, r26
 910:	aa 1b       	sub	r26, r26
 912:	bb 1b       	sub	r27, r27
 914:	fd 01       	movw	r30, r26
 916:	0d c0       	rjmp	.+26     	; 0x932 <__udivmodsi4_ep>

00000918 <__udivmodsi4_loop>:
 918:	aa 1f       	adc	r26, r26
 91a:	bb 1f       	adc	r27, r27
 91c:	ee 1f       	adc	r30, r30
 91e:	ff 1f       	adc	r31, r31
 920:	a2 17       	cp	r26, r18
 922:	b3 07       	cpc	r27, r19
 924:	e4 07       	cpc	r30, r20
 926:	f5 07       	cpc	r31, r21
 928:	20 f0       	brcs	.+8      	; 0x932 <__udivmodsi4_ep>
 92a:	a2 1b       	sub	r26, r18
 92c:	b3 0b       	sbc	r27, r19
 92e:	e4 0b       	sbc	r30, r20
 930:	f5 0b       	sbc	r31, r21

00000932 <__udivmodsi4_ep>:
 932:	66 1f       	adc	r22, r22
 934:	77 1f       	adc	r23, r23
 936:	88 1f       	adc	r24, r24
 938:	99 1f       	adc	r25, r25
 93a:	1a 94       	dec	r1
 93c:	69 f7       	brne	.-38     	; 0x918 <__udivmodsi4_loop>
 93e:	60 95       	com	r22
 940:	70 95       	com	r23
 942:	80 95       	com	r24
 944:	90 95       	com	r25
 946:	9b 01       	movw	r18, r22
 948:	ac 01       	movw	r20, r24
 94a:	bd 01       	movw	r22, r26
 94c:	cf 01       	movw	r24, r30
 94e:	08 95       	ret

00000950 <__tablejump2__>:
 950:	ee 0f       	add	r30, r30
 952:	ff 1f       	adc	r31, r31
 954:	05 90       	lpm	r0, Z+
 956:	f4 91       	lpm	r31, Z
 958:	e0 2d       	mov	r30, r0
 95a:	09 94       	ijmp

0000095c <_exit>:
 95c:	f8 94       	cli

0000095e <__stop_program>:
 95e:	ff cf       	rjmp	.-2      	; 0x95e <__stop_program>
  • pourquoi ne pas faire de la virgule fixe pour ton usage si tu cherches la performance ? C’est ce qui est fait dans certains DSP il me semble.

Oui ! la virgule fixe est préférée (préférable) sur les microcontrôleurs. Deux raisons à pourquoi j’ai utilisé des flottants :

  • C’est rigolo;
  • À l’origine j’implémente la FFT sur mon Arduino. C’est typiquement un cas où on ne peut pas aveuglément utiliser une virgule fixe, parce que les ordres de grandeur vont varier significativement pendant le calcul. Bien sûr ce n’est pas impossible d’utiliser une virgule fixe, mais ça oblige à re-scaler régulièrement l’ensemble du tableau de calcul. En fait ça revient un peu à partager le même exposant sur la totalité des nombres du tableau dans ce cas (et à oublier la normalisation).
  • de même pourquoi ne pas être sur des flottants 16 bits ? J’imagine que ça serait plus rapide, et peut-être même assez précis pour ton usage, voire plus précis que ton approximation peut-être ?

Je n’ai juste pas trouvé de bibliothèque qui propose des flottants demi-précision pour autre chose que du stockage ! La plupart de ce que je trouve bascule sur du simple voir double (!!) précision pour faire le calcul.

  • Est-ce qu’il n’y aurait pas d’autres approches simples et performantes ?

Oui, ça n’a pas été la première optimisation que j’ai réalisée. De manière générale, en partant du code que je propose dans mon tuto sur la FFT, j’ai commencé par essayer de réduire le nombre de multiplications, en utilisant ceci en gros. Pour diverses raisons je veux voir à quel point je peux pousser les flottants. Ensuite je passerais sur de la virgule fixe avec exposant mis en commun ! :)

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