Champ électrique et permittivité relative de l'eau

Calcul d'une densité surfacique de charge

L’auteur de ce sujet a trouvé une solution à son problème.

Oui parfois il faut utiliser les symétries parfois non, ça dépend ^^

Ici que sait-on ? Que le champs est orthogonal à deux faces, qu’il vaut $\vec{E} = E_0 \vec y$ (je prend y pour respecter ton dessin et les notations usuels) à l’extérieur du cube et à l’intérieur $\vec{E} = (E_0 + P) \vec y = (1 + \chi) E_0 \vec y$

(pour bien fait les choses on devrait noter $\vec D$ et non $\vec E$ puisque par définition $\vec D = \vec E + \vec P$, mais c’est des notations)

Et on cherche la quantité de charge surfacique.

Du coup si on dessine un cylindre d’axe $\vec y$ qui coupe uniquement la face de gauche, de ce genre (mais tourner a 90° sur la gauche): Image utilisateur

Tu peux appliquer le théorème de gauss assez facilement ! D’abord il faut calculer

$$\int_{cyl} \vec{E}. \vec {dS} $$

Facile ! $\vec{E}. \vec {dS}$ est non nul uniquement pour les deux faces plane (les "bouchons") du cylindre car le champ est parallèle au cylindre. D’après les valeurs du champs on a donc : $\vec{E_{ext}}. \vec {dS} = -E_0$ et $\vec{E_{int}}. \vec {dS} = E_0 + P $

D’où

$$\int_{cyl} \vec{E}. \vec {dS} = (-E_0 + E_0 + P) \times S = PS$$

Et le théorème de gauss nous dis que c’est égal à la charge intérieur à ce cylindre qui peut être décomposé comme la charge de surface + la charge volumique. La charge volumique vaut 0 (car l’eau est neutre, elle est juste polarisé). Seul la charge surfacique peut être non nul :

$$PS = \frac{Q_{int}}{\epsilon_0} = \frac{Q_{vol} + Q_{surf}}{\epsilon_0} = 0 + \frac{\sigma}{\epsilon_0} S $$

d’où $\epsilon_0 P = \sigma$

qui se re-ecrit : $\sigma = \epsilon_0 \chi E_0$

J’ai relu ton message initial ce qui est drôle c’est que tu as en premier la bonne réponse puis qu’elle devient fausse … !!

$Q_i = S \times \epsilon_0 \chi ||\vec{E}_t||$

Xalty

$\sigma = \dfrac{Q_i}{S} = \dfrac{\chi}{1 + \chi} \times \epsilon_0 \times E$

Xalty
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Cette réponse a aidé l’auteur du sujet

Oula oui tu as raison il y a un schmilblick quelque part (mais pas besoin de faire intervenir l’origine des phénomène diélectrique ^^)

Il faut mieux comme je l’ai dit dans mon premier message passer par $D$ pour pas faire d’erreur.

En faisant Gauss sur $D$ on obtient

$\vec D_{ext}. \vec{S_g} + \vec D_{int}. \vec{S_d} = 0$ (car pas de charge libre)

$-SE_0 + S(1+\chi)E_{int} = 0$

d’où $E_{int} = \frac{E_0}{1+ \chi}$

Puis gauss sur $\vec{E}$ donne :

$-E_0 + \frac{E_0}{1+\chi} = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$ d’ou $ \sigma = - \epsilon_0 \frac{\chi E_0 }{1 + \chi} = - \epsilon_0 (\epsilon_r-1)\frac{E_0 }{\epsilon_r}$

Qui est ce que tu avais dis au début huhu :D (que tu avais obtenu comment ? Sans gauss ? )

(le schmilblick c’était bien sur d’écrire $E_{int} = E_0 + P$ a la place de $D_{int} = E_{int} + P$  ! )

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$\vec{P}$ c’est la polarisation de ton milieu, c’est a dire la densité de dipôle élémentaire contenu dans ton milieu

$$\vec{D}$ est le champ de déplacement

Tu as $\vec{D} = \epsilon_0 \vec{E} + \vec{P}$

$\vec{D}$ n’a pas vraiment d’interprétation physique. En l’absence de charge libre (type conducteur) $\vec{D}/\epsilon_0 $ est le champs qu’il y aurait si il n’y avait pas de polarisation.

C’est pour ça qu’on obtient $D_{int}=\epsilon_0 E_0$, si il n’y avait pas de diélectrique le champs dans le cube serait de $E_0$

Du coup, selon ma proposition et si la réponse est bonne, le ? peut être remplacé par t.

Xalty

non. Si $d$ est la séparation entre la charge + et - d’un dipôle alors ce n’est pas $E_t$ mais $E_{int}$.

(et je me demande beaucoup comment tu arrives de la :

Par exemple  : $Q_i = \eta_a\ q\ S\ d$

Donc : $\sigma = Q_i/S$

$Q_i = S \times \epsilon_0 \chi ||\vec{E}_t ||$

à la :

$\ \sigma = \dfrac{\epsilon_r - 1}{\epsilon_r} \times \epsilon_0 \times E = 8,74 \times 10^{-12}\ \mathrm{C/m²}$

Xalty

^^

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Bonjour.

Je me permets de raisonner autrement… Dans l’eau pure, il y a des ions H+ et OH-. Solvatés, liés à des molécules d’eau. Si on applique un champ électrique à un récipient contenant de l’eau, on va avoir migration d’une partie de ces ions. Jusqu’à ce que le champ électrique soit nul au sein de la masse d’eau. Et les équilibre du pH ne vont plus être respectés. Des molécules d’eau vont se transformer en ions. C’est une réaction endothermique et la température va descendre légèrement. Si on sort le récipient de l’influence du champ, les ions se remélangent; les conditions du pH ne sont plus respectées et des molécules d’eau se reforment. Je dirais donc que la densité de charges (d’ions) sur les deux faces du récipient est la même que la densité de charge qu’il faut avoir pour créer cette valeur de champ électrique....

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La formule de $Q_i$ vous est donné dans votre cours ? Je ne l’avais jamais vu.

Généralement on tiens pour acquis que le champs induit par les dipôle est proportionnel (dans le cas de faibles intensité) au champ local : E_{dipôle} = \chi E_{int}

(mais je pense que la formule de $Q_i$ est établi a posteriori après avoir fait le raisonnement macroscopique mais je ne suis pas sur, ce qui est bizarre c’est que $Q_i$ tend à l’infini pour des charges éloigné à l’infini…)

Mais ta méthode d’utiliser la linéarité du champs et donc de superposer le champ extérieur $E_0$ et le champ des dipôles (assimilable à un condensateur plan) $E_{dip} = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$ marche très bien Et est très concise !

Par contre tu devrais raisonner en vecteur et pas en norme. Si un signe moins doit apparaitre il apparaitra à la fin dans le résultat naturellement mais ici tu fais apparaitre artificiellement un signe moins car tu anticipes la charge du coup tu raisonnes sur la norme… ça marche si tu es prudent, mais c’est pas hyper-propre. D’autant plus qu’a la fin ton calcul te dit pas explicitement ou est la charge + et ou est la charge -. Tu la déduis car "tu sais" mais dans les cas compliqués ou avec la fatigue,l’inattention on a vite fait de se planter…

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Petit instant chimie donc: il y a une énorme différence entre la quantité d’ions dans une solution de KCl (la concentration n’est pas précisée, mais plus que probablement supérieure à la suivante), et les quelques ions $\ce{H+}$ et $\ce{OH-}$ issus de l’autoprotolyse de l’eau (comme l’as dit Xalty, 10-7 moles par litre). Pour travailler dans un domaine similaire, je peux te dire que l’approximation ne ne pas considérer l’eau comme un corps ionique est valide dans ce genre de cas.

EDIT: ta source ne raconte rien de faux, mais on vois qu’elle a vécu (je n’ai aucune idée de ce qu’est un élément Bunsen pour une pile).

Re-EDIT: puis ça dépend du champ électrique appliqué. Évidement, si on tape dedans avec un champ électrique de plusieurs milliers de volts, tout est possible (mais la polarisation n’est plus linéaire).

Édité par pierre_24

#JeSuisToujoursArius • Doctorant et assistant en chimieex (et futur?) dev’ (co-réalisateur ZEP-12 et recherche)

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Bonjour. Je vais donc prendre un cube d’eau de 1m³. Enfermé dans un récipient en verre de 1mm d’épaisseur et flanqué de deux électrodes en cuivre sur deux faces. C’est un beau condensateur, non. Pas très efficace. Et calculer la charge qu’il faut pour avoir un champ de 1N/C. Et puis voir si dans l’eau, il y a suffisamment de charges libres… Dans un m³ à ph 7, il y a quand même 6.10exp17 charges élémentaires positives, les ions H+ et le même nombre de charges élémentaires négatives, les ions OH-. C’est bien la concentration, en mole/litre multipliée par le nombre d’Avogadro. Et çà fait donc, si je ne me trompe pas: un dixième de Coulomb. Et faire entrer un dixième de Coulomb sur une surface de 1m², c’est ce que les calculs devraient montrer. La permittivité diélectrique (relative) de l’eau vaut 80. C’est énorme. Pourquoi?

Bonne journée.

Dylan

Édité par Dylan

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C’est pas vraiment parce que tu mets plus d’eau que ça va mieux fonctionner. C’est caché dans les expressions, mais il y a une histoire de densité de charges, et comme la concentration reste constante, bah ça change rien. Tu peux en effet partir du principe que la polarisation induite, $\chi$, est la somme des polarisabilités individuelles des différentes molécules (modulo l’orientation), et c’est là que ta concentration intervient. Voir ici pour plus de détails :)

EDIT: la constante diéletrique de l’eau s’explique par d’autres phénomènes que l’autoprotolyse. Entre autre la différence d’électronégativité entre l’oxygène et l’hydrogène, qui fait que la molécule d’eau est (bien) polaire (chose qu’on approxime ici, et encore une fois c’est pas réellement important parce que les molécules d’eau sont orientées n’importe comment), couplé au fait que ça lui permet de faire des ponts hydrogènes entre les molécules d’eau. Le tout est donc très polarisable, d’ou une grande constante diélectrique.

Édité par pierre_24

#JeSuisToujoursArius • Doctorant et assistant en chimieex (et futur?) dev’ (co-réalisateur ZEP-12 et recherche)

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Bonjour.

Commençons par remplacer l’eau par un bloc de cuivre, conducteur. On a donc deux condensateurs en série avec du verre de 1 mm d’épaisseur comme isolant. Et appliquons une tension de 2000 volts. 1000 volts donc sur chaque condensateur donc. Quelle est la charge? On va prendre 6 pour la permittivité relative du verre. Donc. Q=C.U et C= epsilon r . epsilon 0 . surface / épaisseur. On secoue un peu..... Et çà donne: 0.005 Coulomb. Il me semble donc. Sauf erreur de calcul de ma part. Que dans le m³ d’eau, il y a bien assez de charges électriques. H+ et OH-, solvatées. Pour se comporter comme un "conducteur". Merci de me donner votre avis.....Il m’intéresse

Dylan

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