Densité et espace métrique

Bonjour, je suis en train de travailler sur un exercice où la dernière question parle de densité. Je vous montre l’énoncé :

On note B l’ensemble des suites réelles bornées, C l’ensemble des suites réelles convergeant vers 0 et A l’ensemble des suites nulles à partir d’un certain rang. Et on a, si $(x_n)_n$ et $(y_n)_n$ appartiennent à B : $d(X,Y)=sup_n(|x_n-y_n|)$. La première question est classique, il est demandé de montrer que d définit bien une distance sur B.La deuxième question demande de montrer que C est une partie fermée de B. Jusqu’ici tout va bien, c’est pour la dernière question que j’ai des doutes.

Montrer que A est dense dans C. Est-il dense dans B?

Voilà ma réponse :

Je vois bien que ma réponse est un peu "fumeuse" mais je vois pas du tout comment procéder.

Merci d’avance,

Ta démonstration est fausse : $|x_n|<\epsilon$ n’implique pas $x_n=0$ à partir d’un certain rang. Contre exemple : $1/n$.

Prends le réflexe de construire. C’est souvent possible en analyse, et là ça t’aiderait à comprendre ce qu’il faut faire.

On te demande de montrer que A est dense dans C. Pour cela, tu peux montrer que toute suite de C est $\epsilon$-proche d’une suite de A. En d’autres termes, étant donné $\epsilon>0$ est-ce que tu peux montrer que toute suite de C est à distance au plus $\epsilon$ d’une suite de $A$?

Tu veux montrer que toute suite convergeant vers 0 est dans l’adhérence de A.

De manière générale, pour montrer qu’un ensemble C est inclus dans l’adhérence de A, que faut-il faire ? Rappelle la définition, et ensuite reformule cette définition générale de l’adhérence, en l’appliquant à cet exercice.

Grillé par Holosmos … mais en combinant les 2 messages, tu devrais pouvoir avancer.

Vu comme ça, la réponse à la question parait trivial. Soit $X=(x_n)_n$ appartenant à C et $\varepsilon >0$. On cherche à montrer qu’il existe une suite $Y=(y_n)_n$ appartenant à A telle que $d(X,Y)<\varepsilon$ . Comme $X$ appartient à C, on a clairement $d(X,0)<\varepsilon$, donc en posant $(y_n)_n$ la suite nulle pour tout n, en particulier elle est nulle à partir de son premier rang, cette suite appartient donc bien à A, ainsi on obtient ce qu’on souhaitait. Ca me parait un peu trop simple du coup …

Comme $X$ appartient à C, on a clairement $d(X,0)<\varepsilon$

C’est pas bien la clarté, ça éblouit.

Tu peux encore prendre $1/n$ pour voir ton erreur.

Si je prends $\epsilon= 1/3$ bah $1/2 > 1/3$ et donc la suite nulle n’est pas $\epsilon$-proche de $1/n$.

Pourquoi est-ce faux ?

J’avoue ne pas avoir capté ton contre exemple, en faite je ne vois pas où mon raisonnement est faux, à partir d’où mon raisonnement devient erroné ?

Quand tu écris : on a clairement d(X,0)<ε, 0, c’est une fonction, par principe, et c’est bien la fonction nulle, c’est ça ?

Et entre la suite Un=1/n par exemple et la suite Vn=0, la distance n’est pas égale 0 , mais à 1.

Quand tu écris : on a clairement d(X,0)<ε, 0, c’est une fonction, par principe, et c’est bien la fonction nulle, c’est ça ?

Oui, c’est ça. C’est l’élément neutre pour l’addition.

Pourquoi est-ce faux ?

Et pourquoi serais-ce juste ? Tu as le contre-exemple de Holosmos.

Le fait que $X$ tende vers $0$ dit, en quelque sorte (entre gros guillemets attention), que « $d(X,0) < \varepsilon$ à partir d’un certain rang ». Mais ça ne dit pas que $d(X,0) < \varepsilon$.