Ensemble qui appartient à l'ensemble de ces parties

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Auteur du sujet

Salut à tous,

dans le cours de théorie des ensembles que je lis, il y a

$E⊄\mathscr{P} (E) $ en général

avec $E$ un ensemble et $\mathscr{P}(E)$ l’ensemble de ses parties.

Le « en général » sous-entendant qu’il y a des contres-exemples, je me demande quel sont-ils. J’ai facilement trouvé que $\emptyset$ en est un mais y en a-t-ils d’autres ?

Merci d’avance pour vos réponses. :)

« La Nature est un livre écrit en langage mathématique », Galilée

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Bah si $E$ n’est pas vide, $P(E)$ contient $\{\emptyset, E\}$, et $E$ n’est pas un élément de $E$. (Même $\emptyset$ n’est pas un élément de $E$.)

Ou alors j’ai mal interprété ce que t’as écrit

edit : preuve de merde, ça aurait servi pour $E\subsetneq P(E)$

Édité par Holosmos

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Cette réponse a aidé l’auteur du sujet

Si j’ai bien compris, Holosmos dit que c’est effectivement le seul contre-exemple. Je n’ai pas bien compris sa preuve, (je n’ai pas bien compris en quoi ça constitue une preuve) mais je pense avoir compris le raisonnement.

Donc “en général” signifit pour $E$ non vide.

Édité par ache

ache.one                 🦹         👾                                🦊

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Cette réponse a aidé l’auteur du sujet

Ah ouais ma preuve est nulle.

Bon j’ai compris comme proposition $E\not\subset P(E)$.

Pour montrer ça, il suffit de montrer qu’un élément de $E$ n’est pas dans $P(E)$. Si $E$ est non vide, on a un élément $a$. Mais $a$ n’est généralement pas une partie de $E$, ça n’arrive que quand $E$ ressemble à un truc bizarre du style $\{b,\{b\}\}$.

Donc en fait il y a bien des contre-exemples : même une infinité. Tu peux prendre les ensembles $\{\emptyset,\{\emptyset\},\{\{\emptyset\}\},\dots\}$

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