Formes indéterminées

Bonsoir,

Un peu idiotement, j’ai du mal à lever les formes indéterminées. Je voulais savoir, est-ce qu’il y a des méthodes particulières selon des cas typiques à comprendre, ou bien faut-il improviser la plupart du temps?

La règle de l’Hôpital (du coup hors-programme) peut-elle être intéressante dans la plupart des cas?

Merci.

Dans un polynôme tu peux factoriser par le terme de plus haut degré Dans le cas de fraction tu as la décomposition en éléments simples…

Sinon tu as des exemples de limite qui t’ont vraiment bloqué à cause de formes indéterminées ?

EDIT : regarde aussi les croissances comparées

Il y a quatre formes indéterminées, chacune a sa méthode qui marche généralement.

Par ex si tu as lim en +inf de (x²+x)/(2x²+x+4), ça fait infini sur infini. Tu le résouds en factorisant en haut et en bas par le plus fort degré, en quelque sorte par ce qui tend le plus vite vers l’infini, ici x², ce qui donne : x²(1+1/x)/x²(1+1/x+4/x²). Les x² s’éliminent, et les (constante / x^n) tendent vers 0, tu trouves ainsi ta limite qui est 1/2.

Ca aide aussi même si tu n’as pas des polynômes. Par ex si tu as (x²+x)(2x²+ln x+4), tu te retrouves avec un ln x / x² qui tend vers 0.

De même si tu as par ex lim en +inf de ln x / ln 2x, tu as aussi une forme indéterminée inf/inf, que tu peux résoudre d’une manière similaire. Il faut utiliser les propriétés de ln pour dire que ln x / ln 2x = ln x / (ln 2 + ln x). Du coup si tu factorises par ln x tu obtiens 1 / (1 + (ln 2 / ln x), qui tend vers 1.

Du coup je dirais qu’il y a des patterns qu’on retrouve souvent, en particulier dans un contexte scolaire. Y’a peut-être des cas particuliers, je ne sais pas trop. Mais tu ne devrais pas en rencontrer souvent dans des exercices. A partir du moment où tu identifies la forme indéterminée que tu rencontres, tu appliques la méthode correspondante, ça a de grandes chances de marcher. Je n’irais pas jusqu’à dire que c’est sûr, mais je n’ai pas souvenir d’une forme indéterminée plus coriace que les autres. Après mes cours de maths commencent à remonter, j’ai peut-être oublié.

(Je sais que j’ai dit récemment dans un sujet ici que les DL n’étaient pas une solution magique, mais pour le coup c’est à ça que ça sert : c’est l’outil roi pour calculer des limites. Si tu es capable de faire des développements asymptotiques à un ordre arbitraire des "briques élémentaires" qui forment ton expression, tu peux résoudre toutes tes formes indéterminées de cette manière. En particulier, la règle de l’Hôpital que tu mentionnes n’est jamais citée en pratique, parce que c’est une conséquence directe d’un DL à l’ordre 1.)

Sans utiliser ce vocabulaire, ça va essentiellement ressembler à une liste d’astuces : factoriser en haut et en bas dans des quotients, multiplier par les "racines conjuguées"… Dans ce contexte, résoudre les "formes indéterminées" n’est pas forcément évident.