Bonjour, je souhaite étudier la suite $(u_n)_{n \in \mathbb N}$ définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \dfrac{(u_n - 3)^2}{4}$.
Déjà, on peut re-écrire $u_{n+1} = \dfrac{1}{4}u_n^2 - \dfrac{3}{2}u_n + \dfrac{9}{4}$ donc sa fonction itératrice n’est autre que le trinôme de second degré $f : x \mapsto \dfrac{1}{4}x^2 - \dfrac{3}{2}x + \dfrac{9}{4}$ de déterminant positif, qui prend ainsi ses valeurs sur $\mathbb R^+$, s’annule en 3 et est décroissante sur $]-\infty, 3]$ puis croissante sur $[3, +\infty[$.
Puisque $u_0 = 0$, j’imagine que je peux montrer que les termes de la suite sont compris entre 0 et 3, auquel cas il faudra étudier par la suite le(s) point(s) fixe(s) de $f \circ f$ (puisqu’elle est décroissante sur $[0, 3]$ et $f([0, 3]) \subset [0, 3]$ ce qui assure l’existence de la restriction $f : [0, 3] \to [0, 3]$) mais son calcul est très laborieux et je me demande aussi si les termes de la suite se trouvent bien exclusivement dans cet intervalle, ce qui m’invite à rejeter ma méthode.
Quelqu’un peut-il me mettre sur le droit chemin? Merci.
