Majoration, minoration

Bonsoir, si je souhaite minorer $x \mapsto x^2 + \sin(x)$ pour $x \in [-3, 2]$ sans dresser de tableaux de variation, faut-il que je procède ainsi :

$|x^2 + \sin(x)| \geq ||x^2| - |\sin(x)|| = ||x^2| + (-|\sin(x)|)|$.

On a $|x^2| = x^2 \geq 0$ et $|sin(x)| \leq 1 \iff -|sin(x)| \geq - 1$.

Donc $x \mapsto x^2 + \sin(x)$ est minorée par $-1$?

En fait, j’ai quelques exercices où je dois minorer des fonctions à l’aide de valeurs absolues et de propriétés comme celles-ci et j’ai parfois du mal.

Je n’ai pas encore vu les accroissements finis.

Mon développement est assez long, j’essaie d’appliquer une méthode mais je pense que dans ce genre de situation ce n’est pas nécessaire et ta solution est plus intuitive.

Quand sin(x) est positif, f(x) est supérieur à 0. Et quand sin(x) est négatif, et x négatif, sin(x) est supérieur à x. Je ne sais pas si tu peux partir de ce postulat. Si oui, tu peux continuer, et arriver assez vite à -1/4 comme nouveau minorant.

@Holosmos: Ton "À vue de nez", tu le justifies pas un truc du style 5 c’est à peu près $2\pi$ donc à peu près la période de $\sin$ ?

@elegance: Je veux bien voir ta méthode, car franchement, ça me parait pas évident du tout.

Quand x est positif, f(x) est positif : somme de 2 nombres positifs, la focntion sin est positive sur l’intervalle [0,2].

Quand x est négatif, sin(x)>x et donc f(x)>x²+x. Etudions la parabole d’équation y=x²+x. Ses 2 racines sont x=0 et x=-1. Son Sommet est atteint pour x au milieu entre 0 et -1, c’est à dire x= -1/2. Et pour cette valeur de x, x²+x vaut -1/4.

Précision 1 : je parle de sommet de la parabole, parce que c’est le terme consacré, mais ici, le sommet, c’est le point le plus bas.

Précision 2 : pour trouver ce sommet, j’ai utilisé une propriété : le sommet est le point d’abscisse X, avec X= le milieu entre les 2 racines, si elles existent. J’aurais pu passer par la méthode plus classique, à savoir calculer la dérivée, et chercher quand cette dérivée s’annule, et faire un tableau de variation.

@Holosmos: Ton "À vue de nez", tu le justifies pas un truc du style 5 c’est à peu près $2\pi$ donc à peu près la période de $\sin$ ?

Non, c’est juste que $\pi/2 \in [-3, 2]$ et que $-\pi/2 \in [-3, 2]$.

En "vrai", j’ai juste vu que l’intervalle était grand. Après (en écrivant), je me suis dit la chose que InaDeepThink a souligné.

Et de toute façon, mon encadrement est toujours vrai, donc j’ai pas vraiment besoin de le justifier. L’intérêt, c’est de vérifier qu’on peut pas faire mieux.

Dans mon raisonnement, c’est le passage à la somme qui est fragile. Je ne prends pas en compte le comportement de $x^2$ et si on le fait, comme l’a présenté elegance, on gagne en finesse.

Merci pour vos réponses!

J’aime beaucoup la méthode d’elegance du coup