Bonsoir, mon prof de probabilités discrètes nous a donné un exemple sur les variables aléatoires discrètes que je ne comprend pas.
Le voici :
Soit $(\Omega, \mathcal A, \mathbb P)$ un espace probabilisé et $N$ une variable aléatoire recensant le nombre de fois qu’un appareil fonctionne. On note $p$ la probabilité de panne de l’appareil à chaque utilisation.
L’appareil est sans vieillissement si pour tout $n \geq 1$ on a $\mathbb P(N \geq n + 1 | N \geq n) = \mathbb P(N \geq 1) = 1 - p$.
Déterminons la loi de $N$ :
$\mathbb P(N \geq n | N \geq n - 1) = \dfrac{\mathbb P(N \geq n)}{\mathbb P(N \geq n - 1)} = 1 - p$.
On a $\mathbb P(N \geq n) = (1 - p)\mathbb P(N \geq n - 1) = (1 - p)^2 \mathbb P(N \geq n - 2) = \dots = (1 - p)^{n - 1}\mathbb P(N \geq 1) = (1 - p)^n$.
Enfin, $\mathbb P(N = n) = \mathbb P(N \geq n | N \geq n + 1) = \mathbb P(N \geq 1) - \mathbb P(N \geq n + 1) = (1 - p)^n - (1 - p)^{n + 1} = (1 - p)^n \times p$.
Voici ce que je ne comprends pas (j’ai mis en gras) :
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Je ne vois pas trop le lien entre la première égalité et l’appareil sans vieillissement, mais j’ai peut-être une idée : c’est parce que $\mathbb P(N \geq n + 1 | N \geq n)$ ne dépend pas de $n$? Ensuite pourquoi c’est égal à $1 - p$?
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Je ne comprend pas le développement final, comment on passe de $\mathbb P(N \geq n | N \geq n + 1)$ à $\mathbb P(N \geq 1) - \mathbb P(N \geq n + 1)$?
Merci pour votre aide!
