Divergence de suite

Le problème exposé dans ce sujet a été résolu.

Bonjour, un exercice me demande de montrer, en utilisant la définition, que la suite $b_n := \dfrac{1}{n} + \cos(n\pi), \forall n \in \mathbb N^*$ diverge.

Je ne vois pas comment procéder, j’ai d’abord tenté par l’absurde, sans succès. Puis en utilisant la négation de la définition, sans succès non plus.

Sur un exercice du genre, je souhaiterais utiliser les suites extraites $b_{2n}$ et $b_{2n + 1}$, d’autant plus que le cosinus s’y prête bien ici, mais la consigne me demande un raisonnement autre.

Avez-vous un indice précieux? Merci.

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Est-ce qu’il n’y a pas une propriété qui dit que la somme d’une suite convergente et d’une suite divergente donne une suite divergente ? (intuitivement ça m’a l’air de marcher)

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Bon, un point de vocabulaire s’impose :

  • converger, c’est avoir une limite finie ;
  • diverger, c’est avoir une limite non finie ($+\infty$ ou $-\infty$ si on considère que ce sont deux infinis différents, ou juste $\infty$ si on travaille dans un cadre particulier);
  • ne pas converger, c’est ne pas avoir de limite.

Je sais pas quel est ton cours, mais c’est le vocabulaire que j’ai toujours rencontré et utilisé sans jamais avoir vu de variante.

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@Holosmos : Voici le passage de mon cours

En l’occurrence les cas $+ \infty$ et $- \infty$ découlent du fait qu’une suite tendant vers l’infini positif ou négatif n’est pas bornée, et ne peut donc être convergente. Enfin c’est comme cela que l’on m’a introduit la chose…

@Ludobike : ça provient du fait que si u et v sont deux suites qui convergent respectivement vers l et l’ deux réels alors la suite u + v converge vers l + l’. Il en découle que, pour u convergente, u + v converge si et seulement si v converge.

Dans notre cas alors, j’imagine qu’il suffit de montrer que $(cos(n\pi))_n$ ne converge pas pour conclure. Mais avec la définition, je n’y arrive pas. :(

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Bon, un point de vocabulaire s’impose :

  • converger, c’est avoir une limite finie ;
  • diverger, c’est avoir une limite non finie ($+\infty$ ou $-\infty$ si on considère que ce sont deux infinis différents, ou juste $\infty$ si on travaille dans un cadre particulier);
  • ne pas converger, c’est ne pas avoir de limite.

Je sais pas quel est ton cours, mais c’est le vocabulaire que j’ai toujours rencontré et utilisé sans jamais avoir vu de variante.

Holosmos

Moi c’est exactement l’inverse : j’ai toujours vu « diverger » défini comme « ne pas converger ». Avec éventuellement la précision « diverge vers $+\infty$ » si nécessaire. Ça me paraît même étrange ce que tu dis, parce que c’est pas très cohérent avec la vocabulaire sur les séries (tu dis bien que la série $\sum_n (-1)^n$ diverge, non ?).

En oubliant le rapport 1 sur n, je vois quelque chose qui oscille constamment entre 1 et -1, à la manière de $(-1)^n$.

Ozmox

C’est même un peu plus que « à la manière de », on a carrément $\cos(\pi n)=(-1)^n$. ^^ Du coup qu’est-ce qu’il se passerait si $(b_n)$ converge ?

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C’est marrant, le wiki semble dire ça aussi, mais j’avais toujours vu l’autre signification. À croire que ça dépend plus des auteurs que je ne le croyais.

Quoiqu’il en soit, ta suite "diverge" si j’utilise la définition que t’as.

Pour montrer qu’une suite n’a pas de limite .... tu peux montrer que la propriété "avoir une limite" est fausse

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En effet, j’ai supposé que la suite possède une limite $l \in \mathbf R$.

Soit $\epsilon > 0$.

Il existe $N \in \mathbf N$ tel que pour tout $n \geq \mathbf N$ on ait $l - \epsilon \leq (-1)^n \leq l + \epsilon$.

Donc pour $n \geq N$ on a $(-1)^n - \epsilon \leq l \leq (-1)^n + \epsilon$.

Ainsi nous avons à partir d’un certain rang, soit $1 - \epsilon \leq l \leq 1 + \epsilon$ et $-1 - \epsilon \leq l \leq \epsilon - 1$.

Donc lorsque $\epsilon \to 0$, par encadrement on a $l \to 1$ et $l \to -1$, ce qui est impossible par unicité de la limite.

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Définition de la limite d’une suite $(b_n)$ :

$$\exists l, \forall \epsilon>0, \exists \eta,\forall n, \; (n\geq \eta \implies |b_n-l|<\epsilon)$$

on remarque que :

$$(n\geq \eta \implies |b_n-l|<\epsilon )\implies (n\geq \eta \implies |b_{n+1}-b_n| \leq |b_{n+1}-l| + |b_n-l| < 2\epsilon) $$

Donc je peux montrer la négation en montrant que $|b_{n+1}-b_n|>2\epsilon$ (puisque si le conséquent est faut, c’est que la prémisse est fausse), c’est-à-dire en montrant :

$$\exists \epsilon>0,\forall \eta,\exists n, \; n\geq \eta \; {\rm et} \; |b_{n+1} - b_n|>2\epsilon$$

(tu noteras que j’ai complètement éliminé la présence de $l\in \mathbf R$)

Cette première partie est un grand classique, pas nécessaire si tu sais ce que c’est qu’une suite de Cauchy, mais c’est bon de savoir le faire.

Je prends $\epsilon = 1/2$. Soit $\eta$. Je prends $n=\eta$.

On a :

$$ \frac{1}{n} + \cos(n\pi) - \frac{1}{n+1} - \cos((n+1)\pi) = 2\cos(n\pi) + \frac{1}{n(n+1)} $$

Maintenant, en valeur absolue :

$$|b_{n+1} - b_n| > 2 - \frac{1}{n(n+1)}> 2 - \frac{1}{2} > 1$$

Et donc j’ai bien démontré $|b_{n+1}-b_n| > 2\epsilon = 1$.

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