Question(s) d'analyse

Bonjour, on me demande de montrer que : $\forall t \in ]-1, +\infty[ - \{0\}, \dfrac{1}{1 + t} < \ln(1 + t) < t$.

Or en étudiant $\dfrac{1}{1 + t} - \ln(1 + t)$ sur $]-1+\infty[ - \{0\}$, je trouve que c’est positif sur $]-1, 0[$, donc on a $\dfrac{1}{1 + t} > \ln(1 + t)$ sur cet intervalle.

Donc je n’arrive pas à conclure. Merci pour votre aide.

Bah c’est bien mon énoncé. Donc j’écris que c’est faux et je trouve l’intervalle sur lequel c’est vrai. En l’occurrence, je dois trouver le zéro de $t \mapsto \dfrac{1}{1+t} - \ln(1 + t)$.

J’ai deux autres questions :

• Si on a une fonction définie et dérivable sur $\mathbb R^*$ et que l’on souhaite étudier sa dérivabilité en 0. On prend l’expression de la dérivée sur $\mathbb R^*$ et on regarde si elle admet une limite finie en 0?

• Dans un autre exercice, on me demande de trouver le plus grand intervalle ouvert $I$ de $\mathbb R$ contenant 0, tel que $g : x \in I \mapsto \tan(x^3)$ soit injective (donc réalise une bijection entre $I$ et $g(I)$). Je n’arrive pas à raisonner pour cet exercice, un indice?

Pour le premier point, en effet, c’est la bonne méthode, en utilisant le théorème de la limite de la dérivée.

Pour le deuxième point, je pense que l méthode générale est d’utiliser le fait que pour une fonction continue, injectivité équivaut à stricte monotonie.

Ça n’a pas de sens de regarder la dérivabilité en 0 si ta fonction n’est pas définie en 0. Il faut d’abord la prolonger, puis vérifier si la fonction prolongée est dérivable en utilisant la définition de la dérivée.

Ok, c’est bien ce que je me disais. Je vais reprendre les exercices en question. Merci pour vos réponses. Je reviendrai ce soir ou demain.

@Ozmox : Ce que dit oddocda est vrai, la réponse à ta question est "oui". Il y a la réponse à ta première question sur wikipédia : https://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9rivabilit%C3%A9#D%C3%A9rivabilit%C3%A9_et_prolongement

Non. Il faut que la fonction soit déjà définie et continue pour pouvoir l’appliquer, c’est même écrit en toutes lettres. Il faut la prolonger en ce point correctement avant de pouvoir s’en servir.

@adri1 : Par rapport à ton premier message, la dérivabilité n’est pas une hypothèse du TLD (c’est justement l’intérêt du théorème…). Tu as raison de souligner qu’on a besoin de la continuité, donc effectivement si on veut être plus précis : « dans ce genre de cas, on vérifie que les hypothèses du TLD sont vérifiées, puis on l’applique ». (Après on peut aussi revenir à la définition, mais généralement on se pose ce genre de questions quand on prolonge un truc bien régulier, donc ça économise un peu de réflexion.)

Par rapport à ton premier message, la dérivabilité n’est pas une hypothèse du TLD

Non, mais ça n’empêche que par construction, il ne s’appliquera pas si la fonction n’est pas dérivable…

Pour éviter ce genre de malentendus, je l’appelle "théorème de prolongement de classe C^1", comme ça je sais qu’il faut d’abord qu’elle soit continue/prolongeable par continuité au point où j’applique le théorème ! Et puis je trouve que ce nom sonne mieux.

En effet, j’ai oublié l’hypothèse de continuité dans ma question, chose sans laquelle il me semble difficile de conclure.

Le théorème énoncé sur wikipédia avec des conditions initiales moins fortes, est-il aussi valable à gauche?

Alors, oui je parlais bien de la version qui est proposé avec les hypothèses moins fortes.

Ok, je vois, merci.