Question(s) d'analyse

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Auteur du sujet

Bonjour, on me demande de montrer que : $\forall t \in ]-1, +\infty[ - \{0\}, \dfrac{1}{1 + t} < \ln(1 + t) < t$.

Or en étudiant $\dfrac{1}{1 + t} - \ln(1 + t)$ sur $]-1+\infty[ - \{0\}$, je trouve que c’est positif sur $]-1, 0[$, donc on a $\dfrac{1}{1 + t} > \ln(1 + t)$ sur cet intervalle.

Donc je n’arrive pas à conclure. Merci pour votre aide.

Édité par Osimoquus

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Soit $t = -0,9$. Alors $\frac{1}{1+t} = \frac{1}{0,1} = 10$ et $\ln(1+t) = \ln(0.1) \approx -2,3$. Soit tu as mal copié / lu ton énoncé, soit on te demande de démontrer quelque chose de faux. :-°

Hier, dans le parc, j’ai vu une petite vieille entourée de dinosaures aviens. Je donne pas cher de sa peau.

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Auteur du sujet

Bah c’est bien mon énoncé. Donc j’écris que c’est faux et je trouve l’intervalle sur lequel c’est vrai. En l’occurrence, je dois trouver le zéro de $t \mapsto \dfrac{1}{1+t} - \ln(1 + t)$.

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Auteur du sujet

J’ai deux autres questions :

  • Si on a une fonction définie et dérivable sur $\mathbb R^*$ et que l’on souhaite étudier sa dérivabilité en 0. On prend l’expression de la dérivée sur $\mathbb R^*$ et on regarde si elle admet une limite finie en 0?

  • Dans un autre exercice, on me demande de trouver le plus grand intervalle ouvert $I$ de $\mathbb R$ contenant 0, tel que $g : x \in I \mapsto \tan(x^3)$ soit injective (donc réalise une bijection entre $I$ et $g(I)$). Je n’arrive pas à raisonner pour cet exercice, un indice?

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Pour le premier point, en effet, c’est la bonne méthode, en utilisant le théorème de la limite de la dérivée.

Pour le deuxième point, je pense que l méthode générale est d’utiliser le fait que pour une fonction continue, injectivité équivaut à stricte monotonie.

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Pour le premier point, en effet, c’est la bonne méthode, en utilisant le théorème de la limite de la dérivée.

Euh… Le théorème de la limite de la dérivée ne s’applique qu’en des points où la fonction est déjà définie et dérivable…

Pour répondre à la question :

Si on a une fonction définie et dérivable sur R∗ et que l’on souhaite étudier sa dérivabilité en 0. On prend l’expression de la dérivée sur R∗ et on regarde si elle admet une limite finie en 0?

Ça n’a pas de sens de regarder la dérivabilité en $0$ si ta fonction n’est pas définie en $0$. Il faut d’abord la prolonger, puis vérifier si la fonction prolongée est dérivable en utilisant la définition de la dérivée.

Dans un autre exercice, on me demande de trouver le plus grand intervalle ouvert $I$ de $\mathbb R$ contenant 0, tel que $g : x \in I \mapsto \tan(x^3)$ soit injective (donc réalise une bijection entre $I$ et $g(I)$). Je n’arrive pas à raisonner pour cet exercice, un indice?

Ozmox

Essaye de répondre à la même question pour $\tan$ et réfléchi à ce que $x\mapsto x^3$ fait à un intervalle. En combinant les deux, tu devrais trouver ta réponse.

I don’t mind that you think slowly, but I do mind that you are publishing faster. – W. Pauli

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Auteur du sujet

Ça n’a pas de sens de regarder la dérivabilité en 0 si ta fonction n’est pas définie en 0. Il faut d’abord la prolonger, puis vérifier si la fonction prolongée est dérivable en utilisant la définition de la dérivée.

Ok, c’est bien ce que je me disais. Je vais reprendre les exercices en question. Merci pour vos réponses. Je reviendrai ce soir ou demain.

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@Ozmox : Ce que dit oddocda est vrai, la réponse à ta question est "oui". Il y a la réponse à ta première question sur wikipédia : https://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9rivabilit%C3%A9#D%C3%A9rivabilit%C3%A9_et_prolongement

blo yhg

Non. Il faut que la fonction soit déjà définie et continue pour pouvoir l’appliquer, c’est même écrit en toutes lettres. Il faut la prolonger en ce point correctement avant de pouvoir s’en servir.

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@adri1 : Par rapport à ton premier message, la dérivabilité n’est pas une hypothèse du TLD (c’est justement l’intérêt du théorème…). Tu as raison de souligner qu’on a besoin de la continuité, donc effectivement si on veut être plus précis : « dans ce genre de cas, on vérifie que les hypothèses du TLD sont vérifiées, puis on l’applique ». (Après on peut aussi revenir à la définition, mais généralement on se pose ce genre de questions quand on prolonge un truc bien régulier, donc ça économise un peu de réflexion.)

Par rapport à ton premier message, la dérivabilité n’est pas une hypothèse du TLD

Non, mais ça n’empêche que par construction, il ne s’appliquera pas si la fonction n’est pas dérivable… :-°

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Par rapport à ton premier message, la dérivabilité n’est pas une hypothèse du TLD

Non, mais ça n’empêche que par construction, il ne s’appliquera pas si la fonction n’est pas dérivable… :-°

adri1

Oui bien sûr, c’est le principe de la conclusion d’un théorème. ^^ C’est juste que quand tu dis qu’il faut vérifier que la fonction est dérivable en utilisant la définition de la dérivée, non, ce n’est pas nécessaire.

  • Soit on montre que la fonction est continue, dérivable partout sauf en 0 et que la dérivée a une limite en 0 qu’on explicite.
  • Soit on calcule la limite du taux d’accroissement en 0.

Le fait est que la première solution est la plus économique en calculs dans beaucoup de cas (et surtout dans des problèmes scolaires…). Ça fait théoriquement plus de limites à calculer, mais elles sont souvent plus simples.

Édité par Lucas-84

Pour éviter ce genre de malentendus, je l’appelle "théorème de prolongement de classe C^1", comme ça je sais qu’il faut d’abord qu’elle soit continue/prolongeable par continuité au point où j’applique le théorème ! Et puis je trouve que ce nom sonne mieux. ^^

Plus on apprend, et, euh… Plus on apprend.

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Tu parles bien d’utiliser la première version qui est proposé avec les hypothèses moins fortes?

Si la question est de savoir si on peut changer $]a, b]$ en $[a, b[$, vérifier les hypothèses en $b$, puis appliquer le théorème en $b$, on peut sans problème (en remplaçant droite par gauche).

Si tu parles de ton problème, avec un problème en $0$ sur $\mathbb{R}^*$, tu peux appliquer cette version du théorème sur $]0, +\infty[$, puis sur $]-\infty, 0[$ séparément Cependant, tu n’as que l’existence d’un prolongement par continuité à gauche et à droite, et de même une dérivabilité à droite et à gauche, mais cela ne suffit pour obtenir un prolongement sur $\mathbb{R}$ tout entier. Il faut donc en plus montrer que les prolongements sont bien les mêmes, et que les dérivées à gauche et à droite sont égales pour pouvoir conclure.

Édité par oddocda

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