(1) On raisonne par l’absurde : on écrit la négation de "les zéros de f sont isolés" : il existe $X \in \mathbb{R}$ tel que $f(X) = 0$ et $\forall \epsilon > 0, \exists x \in [X-\epsilon, X+\epsilon], f(x) = 0$.
En particulier , il existe $(x_n)_n \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}} \textrm{ tel que } x_n \rightarrow X \textrm{ et } \forall n \in \mathbb{N}, f(x_n) = 0$. On a alors, si $n \in \mathbb{N}$ :
$$ \frac{f(x_n) - f(X)}{{x_n - X}} \rightarrow f'(X) \textrm{ par continuité de f.} $$
D’autre part,
$$ \frac{f(x_n) - f(X)}{{x_n - X}} = 0 \rightarrow 0 $$
Ainsi, f(X) = 0 et f’(X) = 0, donc f est solution au problème de Cauchy
$$ (P) : \begin{cases} y'' + a(x)y' + b(x)y = 0 \\ f(X) = 0 \\ f'(X) = 0 \end{cases} $$
Or 0 est solution à ce problème de Cauchy, et par théorème de Cauchy-Lipschitz, cette solution est unique, d’où f = 0 : absurde.\
(2) On pose $w = fg' - f'g$ le wronskien de (f, g). Comme (f,g) est un système fondamental de solution, $\forall t \in [\alpha, \beta], w(t) \neq 0$. Donc w ne change pas de signe sur $[\alpha, \beta]$ (car sinon, comme w continue, w s’annulerait par TVI). Or, comme g s’annule en $\alpha$ et $\beta$ :
En $\alpha$ : $ w(\alpha) = f(\alpha)g'(\alpha) $
En $\beta$ : $ w(\beta) = f(\beta)g'(\beta) $
Or $g'(\alpha)$ et $g'(\beta)$ sont non nuls (car sinon g serait nulle par Cauchy-Lipschitz car $g(\alpha)$ et $g(\beta)$ sont nuls), et sont de signes opposés (petit exercice d’analyse, dîtes moi si vous voulez une solution). D’où $f(\alpha)$ et $f(\beta)$ de signes opposés (et non nuls), donc f s’annule par TVI sur $]\alpha, \beta[$.
Enfin, f s’annule une unique fois sur son intervalle car si elle s’y annulait deux fois ou plus, alors par ce que l’on vient de démontrer, g s’y annulerait, or $\alpha$ et $\beta$ sont deux points d’annulation consécutifs de g.
