Topologie des espaces métriques

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Bonjour,

Un espace topologique peut être définit comme un ensemble munit de sa topologie $T$ qui correspond à l’ensemble des ouverts de $E$. Avec cette définition, on peut définir arbitrairement la topologie de notre espace et donc les ouverts de cet espace avec la seule condition : $E \in T, \emptyset \in T$.

Pourtant on peut donner une autre definition des ouverts de $E$ en disant qu’un ouvert de $E$, est tel que pour chaque point de cet ouvert il existe une boule ouverte centré en ce point tels que l’intersection de cette boule ouverte avec cette ouvert soit non vide. Or, quand on munit un espace d’une topologie rien ne nous empêche de respecter cette condition ? C’est pour ça que j’ai l’impression que c’est contradictoire.

Maintenant si on considère un espace métrique $E$, et une partie $A$ de $E$ et une partie $B$ fermé de $E$ et que $f:A \rightarrow B$ est continue alors $f^{-1}(B)$ est un fermé.

Pourtant si je prends $\mathbb{R}$, et $A=]0,1[$ et $\forall x \in A : f(x)=2$ alors comme $]0,1[$ est un ouvert de $\mathbb{R}$ la propriété au dessus n’est pas respectée.

Voilà, merci d’avance.

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si $B$ est une partie fermée de $E$ et que $f:A \rightarrow B$ est continue alors $f^{-1}(B)$ est un fermé.

InaDeepThink

Cette propriété est fausse. Tu as toi-même donné un contre-exemple très pertinent. Cette propriété doit être vraie si on impose quelques restrictions sur f.

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Bonjour,

Un espace topologique peut être définit comme un ensemble munit de sa topologie $T$ qui correspond à l’ensemble des ouverts de $E$. Avec cette définition, on peut définir arbitrairement la topologie de notre espace et donc les ouverts de cet espace avec la seule condition : $E \in T, \emptyset \in T$.

Euh… Il manque aussi la stabilité par union quelconque et intersection finie !

Pourtant on peut donner une autre definition des ouverts de $E$ en disant qu’un ouvert de $E$, est tel que pour chaque point de cet ouvert il existe une boule ouverte centré en ce point tels que l’intersection de cette boule ouverte avec cette ouvert soit non vide.

Or, quand on munit un espace d’une topologie rien ne nous empêche de respecter cette condition ? C’est pour ça que j’ai l’impression que c’est contradictoire.

Le concept de boule est inhérent à un espace métrique. Tout espace topologique n’est pas nécessairement métrisable (mais tout espace métrique est un espace topologique). Par contre, si tu remplaces "boule" par "voisinage" (qui pour le coup n’est pas une notion métrique), ça donne le même concept d’espace topologique.

Maintenant si on considère un espace métrique $E$, et une partie $A$ de $E$ et une partie $B$ fermé de $E$ et que $f:A \rightarrow B$ est continue alors $f^{-1}(B)$ est un fermé.

Il manque un mot important dans ta conclusion : "alors $f^{-1}(B)$ est un fermé de $A$". Autrement dit, on se place dans la topologie usuelle induite sur $A$. Dans ton "contre-exemple", $]0,1[$ est bien un fermé de $]0,1[$ (pour la topologie induite).

Auteur du sujet

Bonjour,

Un espace topologique peut être définit comme un ensemble munit de sa topologie $T$ qui correspond à l’ensemble des ouverts de $E$. Avec cette définition, on peut définir arbitrairement la topologie de notre espace et donc les ouverts de cet espace avec la seule condition : $E \in T, \emptyset \in T$.

Euh… Il manque aussi la stabilité par union quelconque et intersection finie !

Pourtant on peut donner une autre definition des ouverts de $E$ en disant qu’un ouvert de $E$, est tel que pour chaque point de cet ouvert il existe une boule ouverte centré en ce point tels que l’intersection de cette boule ouverte avec cette ouvert soit non vide.

Or, quand on munit un espace d’une topologie rien ne nous empêche de respecter cette condition ? C’est pour ça que j’ai l’impression que c’est contradictoire.

Le concept de boule est inhérent à un espace métrique. Tout espace topologique n’est pas nécessairement métrisable (mais tout espace métrique est un espace topologique). Par contre, si tu remplaces "boule" par "voisinage" (qui pour le coup n’est pas une notion métrique), ça donne le même concept d’espace topologique.

Ok je vois, merci.

Il manque un mot important dans ta conclusion : "alors $f^{-1}(B)$ est un fermé de $A$". Autrement dit, on se place dans la topologie usuelle induite sur $A$. Dans ton "contre-exemple", $]0,1[$ est bien un fermé de $]0,1[$ (pour la topologie induite).

Lucas-84

Ok, mais dans ce cas là j’ai du mal à comprendre l’utilité du truc. Puisque ça veut dire que la réciproque d’un fermé est un ouvert car $]0,1[$ est un toujours pour la topologie induite. Et aussi pourquoi ça serait faux pour une fonction non continue ? Puisque si $f:A \rightarrow B$ est une fonction alors on a toujours : $f^{-1}(B) =A$ qui est un ouvert et un fermé.

En fait j’ai un peu l’impression que ça revient à dire la phrase suivante : Si $f:A \rightarrow B$ alors $f$ est défini sur $A$ … (qui est une tautologie).

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