Rang d'une matrice

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Bonsoir, je n’arrive pas à comprendre cette démonstration :

En particulier l’interprétation de l’équation matricielle $A = \land B$ du point de vue des colonnes…

Quelqu’un pourrait-il m’expliquer? Je précise ne pas avoir aborder les applications linéaires, car j’ai vu que certaines interprétations se font en termes d’applications linéaires.

Édité par Osimoquus

"オーレン石井!勝負はまだついちゃいないよ!" - Kill Bill vol. 1

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Cette lettre grecque est Lambda : $\Lambda$.

En fait cette équation exprime juste un produit matriciel.

Maintenant, comme n’importe quelle matrice, tu peux lire selon les lignes ou selon les colonnes. Donc si t’as une égalité sur les lignes, tu obtiens une égalité sur les colonnes.

Édité par Holosmos

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Maintenant, comme n’importe quelle matrice, tu peux lire selon les lignes ou selon les colonnes. Donc si t’as une égalité sur les lignes, tu obtiens une égalité sur les colonnes.

Holosmos

Ici, les démonstrations de ce résultat sont évidentes (dans le sens ou il faut pas avoir une idée de "génie" et que c’est juste plein de bidouillages d’indices et de calcul) mais pour moi sans vouloir démontrer et juste en se représentant les applications linéaires associés aux matrices ça n’a rien d’évident. Par exemple, à partir d’une matrice $A$ inversible $2 \times 2$, je ne sais pas comment me représenter sa matrice transposée dans le plan.

@Ozmox, je ne comprends pas ce que tu ne comprends pas. Si tu as vu la multiplication matricielle, normalement ça devrait aller (ou alors c’est la lettre grecque $\Lambda$ qui te fait peur :p).

EDIT : en fait j’avais mal compris ce qu’a dit Holosmos :'( Je pensais que tu voulais dire que si une opération est vraie sur les colonnes elle est vraie sur les lignes… (par exemple le fait que $\det(A) =\det(A^t)$, alors qu’effectivement c’est évident de dire que si les colonnes de deux matrices sont égales alors les matrices sont égales et donc leurs lignes aussi. :)

Édité par InaDeepThink

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Auteur du sujet

C’est pour le prochain chapitre les applications linéaires, étrange qu’il ne soit pas avant.

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Auteur du sujet

Mais sans notion d’application linéaire, le mieux reste de le comprendre sur les indices.

Mouais c’est ça qui me donne mal à la tête. :(

Si j’ai bien compris dans notre matrice $A$, $C_i = \displaystyle \sum_{j = 1}^d b_{j, i} \lambda_j$$\lambda_j := (\lambda_{1, j}, \dots, \lambda_{l, j})$?

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Bon tes notations sont un peu difficiles à appréhender, voilà ce que je te conseille comme écriture (point de vu subjectif … mais qui à fait ses preuves pour moi).

On écrit une matrice $A$ selon ses coordonnées : $A_{ij}$$i$ désigne la ligne et $j$ la colonnes. Le produit matriciel dit que :

$$A_{ij} = \sum_k \Lambda_{ik}B_{kj}$$

Maintenant on peut lire ça de deux façons : ou bien comme une combinaison des lignes de $B$ : $B_{kj}$ ne varie que selon $k$ qui désigne les lignes ; ou bien comme combinaison des colonnes de $\Lambda$ : $\Lambda_{ik}$ ne varie que selon $k$ qui désigne les colonnes.

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Auteur du sujet

J’ai l’idée, notamment après avoir travaillé sur un exemple, mais c’est toujours un peu flou en globalité.

Édité par Osimoquus

"オーレン石井!勝負はまだついちゃいないよ!" - Kill Bill vol. 1

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je trouve étrange d’étudier la multiplication matriciel avant de voir les applications linéaires.

Enfin si c’est dans un cadre appliqué et qu’on est prêt a admettre bcp de chose pourquoi pas mais dans le cade d’un cours de maths ça me parait étrange.

(après vu le Théorème que tu sors je ne conseillerai sans doute pas ce cour pour une première approche de l’algèbre linéaire ^^ )

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Auteur du sujet

Non non, c’est un cours pur maths de ma fac. Je suis obligé de m’assujettir au programme.

Édité par Osimoquus

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Nan j’ai déjà vu et c’est pas si absurde que ça.

Le problème quand les applications linéaires sont abordées avant c’est que les étudiants croient après pour la plupart que matrice = application linéaire, alors que ça n’est pas le cas. (On a déjà beaucoup discuté sur ce forum de la nature d’une matrice. En court : c’est un tableau de nombres, et c’est tout.)

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Yep mais lorsque c’est un simple tableau de nombre la multiplication matriciel "usuel" n’a pas plus de raison d’être qu’une autre et parait même inutilement compliqué (et à raison).

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Le problème quand les applications linéaires sont abordées avant c’est que les étudiants croient après pour la plupart que matrice = application linéaire, alors que ça n’est pas le cas.

Holosmos

Lorsque les matrices sont à coefficients dans un corps $\mathbb{K}$ c’est toujours des applications linéaires, tu faisais allusion à des choses du type ?  :

$$\quad \begin{pmatrix} \infty & -1 \\ 0 & \infty \end{pmatrix} \quad $$

mais dans ce cas là ça à d’autres applications (poids des noeuds dans un graphe, automates…)

Je vais me renseigner sur la notion d’espace dual.

Édité par InaDeepThink

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