Limite de fonction analytique

Analyse complexe

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Bonjour, je m’entraine sur un exercice d’analyse complexe dont je n’ai pas la correction et sur lequel je bloque. Je vous montre l’énoncé et ensuite je vous montre ce que j’ai fais ou essayé de faire.

1)Déterminer (en le justifiant) l’ensemble A des nombres complexes $z$ tels que $cos(z)=0$

2)Pour $z \in \mathbb C$\A, on pose $K(z)=\dfrac{1+sin(z)}{cos(z)}$ Justifier l’existence d’une suite $(bn)_n$ de nombres réels que :

$\forall z \in D(O,\pi/2), K(z)=\sum_{n=0}^{\infty} b_nz^n$

3)Pour $z \in \mathbb C$\A, on pose $H(z)=\dfrac{1+sin(z)}{cos(z)}+\dfrac{4}{2z-\pi}$. Prouver que les quantités $H(\pi/2-h)$ et K(-\pi/2-h) ont une limite quand le nombre complexe non nul h tends vers 0.

Pour la question 1, j’ai trouvé que les z tels que $cos(z)=0$ étaient $z=\pi/2 +2k\pi$ avec $k \in Z$.

La question 2 est un peu bizarre puisque cela parait évident, comme la fonction K est analytique pour $z \in \mathbb C$\A donc elle est développable en série entière sur le disque $D(O,\pi/2)$.

Et c’est pour la 3 que je bloque, j’ai essayé de changer le sinus et le cosinus par leurs formes exponentielles puis de regarder le module mais je n’aboutit à rien.

Quelqu’un aurait une petite indication s’il vous plait ? :D

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