Vulgarisation mathématique

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Auteur du sujet

Bonjour, dans le cadre d’un projet à mon université, je dois réaliser un poster qui présente un concept mathématique vulgarisé.

Je pense à vulgariser la phrase : "La fonction exponentielle est une bijection réciproque de la fonction logarithme népérien".

Je souhaiterai avoir votre avis sur le sujet et sur la manière dont je compte le présenter :

Déjà, j’aimerai simplement utiliser des phrases écrites en français, c’est-à-dire dépourvues de symbole mathématique et représenter visuellement (un peu comme le fait MicMaths) le formalisme sous-jacent à la notion de fonction et de bijection.

C’est ici que j’ai besoin de vos conseils.

Voici le plan auquel j’ai songé :

Définition d’une fonction

J’explique ici le concept de fonction, je pense à utiliser le modèle de MicMaths dans son cours sur le site.

Il faudrait que j’explique c’est qu’est un ensemble, comme un grand sac contenant des nombres par exemple, que la fonction transforme un élément d’un ensemble de départ en un élément d’un ensemble d’arrivé (on peut représenter sous forme d’un tableau par exemple, qui à chaque élément de l’ensemble de départ fait correspondre un élément de l’ensemble d’arrivé).

Pour introduire la notion de bijection par la suite, il faudrait que j’insiste sur trois points :

  • Un élément de l’ensemble d’arrivé peut être relié à plusieurs éléments de l’ensemble de départ.

  • Chaque donnée de l’ensemble de départ subit une unique transformation, on ne peux pas avoir plusieurs images pour un antécédent (je ne parlerai pas des fonctions multivaluée car trop compliqué) (règle 1).

  • Tous les éléments de l’ensemble de départ sont reliés à un élément de l’ensemble d’arrivé. En revanche, il peut y avoir des éléments en trop dans l’ensemble d’arrivé, qui ne sont pas reliés à un élément de l’ensemble de départ (règle 2).

Définition d’une bijection

Là je pense tout simplement donner l’exemple d’une fonction bijective, sans expliquer au préalable ni même écrire que cette fonction est bijective, et je dis que pour obtenir sa réciproque on inverse l’ensemble de départ et l’ensemble d’arrivé (ça semble approximatif comme ça, je sais).

Simplement pour que le lecteur se fasse une idée.

Ensuite je montrerai les exemples de fonctions non-bijectives et pourquoi on ne peut pas définir de réciproque :

  • Si un élément de l’ensemble d’arrivée est relié à plusieurs éléments de l’ensemble de départ, ça met en défaut la règle 1.

  • Si des éléments de l’ensemble d’arrivé ne sont pas reliés à un élément de l’ensemble de départ, àa met en défaut la règle 2.

La fonction exponentielle

Là, j’ai vraiment du mal car je ne vois pas comment introduire cette fonction de manière intuitive. Moi je pense à une dérivée, mais c’est trop compliqué.

La fonction logarithme néperien

J’explique que c’est la réciproque de la fonction exponentielle, je trace son graphe et je montre qu’il y a un axe de symétrie, c’est joli en plus.

Voilà le plan grosso-modo, bien évidement tout ceci n’est qu’à titre indicatif et je souhaiterai avoir votre avis. :-)

Bien à vous!

Édité par Osimoquus

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Bonjour, dans le cadre d’un projet à mon université, je dois réaliser un poster qui présente un concept mathématique vulgarisé. Je pense à vulgariser la phrase : "La fonction exponentielle est une bijection réciproque de la fonction logarithme népérien".

Je souhaiterai avoir votre avis sur le sujet et sur la manière dont je compte le présenter :

  • Quel niveau as-tu ?
  • Qui est le public visé ?
  • Le sujet est il imposé ou tu l’as choisi ?

Édité par Davidbrcz

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Cette réponse a aidé l’auteur du sujet

Si tu vises des collégiens, je dirai que ca ne va pas du tout. Il y’a bien trop de concepts manquants pour qu’ils aient la moindre de chance de comprendre…

C’est un poster, pas un cours. il faut que ca soit écrit gros, visible d’assez loin. Un poster rempli de texte et d’équation, certains encadrants chercheurs y poussent, mais ils ont tord !

AMA, il faut un sujet plus visuel qui soit adapté à ce que des élèves en 3eme maîtrisent. Des exemples qui me viennent:

  • "Repère et changement de repère"
  • "Pavage du plan"
  • "Des éléments d’arithmétiques", propriétés sur des nombres

Je t’invite à regarder les intitulés d’ancien stages hippocampe pour 3eme pour te faire une idée

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Auteur du sujet

C’est un exemple les collégiens, ce n’est pas spécifiquement pour les collégiens.

Un autre sujet qui m’intéresse : la géométrie des équations.

Édité par Osimoquus

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Cette réponse a aidé l’auteur du sujet

Je pense que tu peux y arriver en réduisant ton problème à "juste" la notion de bijection.

Par exemple, tu pourrais par exemple parler d’un profil d’altitude (ta fonction) et chercher les conditions permettant de connaître sa position longitudinale à partir de l’altitude (la fonction réciproque).

Tu peux alors potentiellement vulgariser des conditions du type stricte monotonie, etc.

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Je pense que tu peux y arriver en réduisant ton problème à "juste" la notion de bijection.

Par exemple, tu pourrais par exemple parler d’un profil d’altitude (ta fonction) et chercher les conditions permettant de connaître sa position longitudinale à partir de l’altitude (la fonction réciproque).

Tu peux alors potentiellement vulgariser des conditions du type stricte monotonie, etc.

Aabu

Pour rebondir sur l’exemple, présenter la notion de fonction (ensemble de départ, d’arrivé), les propriétés classiques de fonction numériques (bijection, injonction, surjection, monotonie, croissance) avec des exemples et ouvrir vers la fin en présentant d’autres choses que les fonctions numériques. Tu as avec déjà un très bon poster !

Édité par Davidbrcz

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Cette réponse a aidé l’auteur du sujet

Je reste sur le sujet "bijection". Sans me prononcer sur la question ’ce sujet est-il adapté ou non’

Et je ferais le cheminement : fonction –> application –> injection et/ou surjection –> bijection. Pour définir une bijection, rien de tel que de passer par les 2 propriétés injection et surjection.

Mon poster serait découpé en 5+1 parties. Dans les 5 premières parties, je dessinerais les mêmes courbes, 5 ou 6 courbes, les mêmes à chaque fois.

  • Dans la partie 1, les 6 courbes seraient en vert : toutes sont des fonctions.
  • Dans la partie 2, j’aurais 5 courbes en vert, et une en rouge : cette courbe est une fonction, mais ce n’est pas une application.
  • Dans la partie 3a (injection), j’aurais toujours mes mêmes courbes, mais en rouge, celles qui ne sont pas des injections.
  • Dans la partie 3b (surjection), j’aurais toujours mes mêmes courbes, mais en rouge, celles qui ne sont pas des surjections. On a desc des courbes qui sont en vert ici, alors qu’elles étaient en rouge dans la partie 3a.
  • Et dans la partie 4 : les courbes en vert sont les bijections.

Les pavés injection et surjection s’appellent 3a et 3b, et non 3 et 4 …pour montrer que le cheminement, c’est indifféremment 1.2.3a.3b.4.5 ou 1.2.3b.3a.4.5.

Dans le poster , il faudrait ajouter des flêches pour montrer cela.

Dans chaque pavé, une phrase courte définirait la nouvelle notion qu’on a introduit.

Et dans un dernier pavé : A partir d’une bijection, on peut définir la bijection réciproque. Avec un dessin de courbe, où on voit bien que les 2 courbes se superposent quand on fait un pliage selon la 1ère diagonale.

Idéalement, pour toutes ces étapes, et en particulier pour les 2 dernières, je prendrais une bijection de R vers R, et non de R vers R*+. Et donc pas la fonction exponentielle.

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Auteur du sujet

Les bijections sont intéressantes dans la mesure où on en utilise plein mais on ne sait pas forcément d’où elles viennent, comment formaliser l’idée derrière, qui est pourtant pas très difficile dans notre cas. Aussi, il y a pleins de scientifiques non mathématiciens dans ma fac, qui utilisent les maths comme un outils plutôt qu’autre chose et qui ne sont pas forcément au courant de l’idée abstraite qui se cache derrière tel ou tel concept, qui pourtant peut se visualiser simplement, sans forcément avoir recours à tous pleins de symboles.

Édité par Osimoquus

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Les bijections sont intéressantes dans la mesure où on en utilise plein mais on ne sait pas forcément d’où elles viennent, comment formaliser l’idée derrière, qui est pourtant pas très difficile dans notre cas.

Tu me dis que c’est utile. Mais est-ce que c’est vraiment suffisant pour être intéressant ?

Tu peux répondre que oui, c’est ton choix. Mais j’essaye juste de comprendre précisément ce que t’as envie de communiquer

Pour moi la notion de bijection est indépendante de sa décomposition mathématique classique entre injection et surjection. Je trouve cette approche assez peu naturelle et intuitive.

Une façon de présenter la bijection à des élèves serait de partir de l’exercice où on veut s’assurer qu’il y a autant de chaises que d’élèves. Comment faire ? Il suffit de demander à chaque élève de s’assoir, et si aucun élève n’est debout et aucune chaise n’est vide, les deux ensembles sont en bijection.

On peut alors s’amuser à présenter des bijections (ou injection/surjection) de la vie courante, à travers une fonction affine qui indiquerait par exemple le prix payé en fonction du nombre de bonbons achetés. On voit intuitivement qu’il y une correspondance exacte entre les deux quantités.

Présenter le log et l’exponentiel à des étudiants de 3éme me semble plus compliqué, mais il est possible de trouver des exemples de ce genre. J’ai vu passé il y a pas longtemps une vidéo où l’intervenant présentait le log discret comme le nombre minimal d’étapes à faire pour peser une quantité avec une balance de Roberval. Cela permet de donner un sens et une vraie intuition je trouve (globalement les informaticiens ont pas mal d’autres exemples du genre avec des algorithmes^^).

Sur la résolution graphique des équations, je pense que cette dernière vidéo du génial 3blue1brown devrait te plaire : https://www.youtube.com/watch?v=b7FxPsqfkOY. Si tu ne connais sa chaine, elle devrait pas mal t’inspirer.

Édité par Demandred

"Je sais que vous croyez comprendre ce que vous pensez que je vous ai dis, mais je ne suis pas sûr que vous ayez conscience que ce vous avez entendu n’est pas ce que je voulais dire" À. Greenspan.

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Tu peux plotter les deux fonctions dans deux couleurs différentes et tracer la courbe (x=y) pour voir que les deux fonctions sont en "miroir" selon cet axe de symétrie. Ensuite tu dessines sur le dessin, dans le cas d’un point, le fait qu’aller de x à exp(x), puis de exp(x) à log(exp(x)), ramène au "miroir" du point de départ. Si des gens sont sur place, tu peux leur montrer avec le doigt que ça marche depuis n’importe quel point.

Ensuite tu peux faire quelques remarques sur les bijections (faire remarquer que cette propriété ne peut marcher que si la fonction "ne passe qu’une seule fois par chaque point", et "passe par tous les points"), ou alors faire quelques remarques sur l’exponentielle ou le logarithme (montrer que log(a*b)=log(a)+log(b) sur un exemple concret, sur le graphe), s’il reste de la place.

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