Bonjour, dans le cadre d’un projet à mon université, je dois réaliser un poster qui présente un concept mathématique vulgarisé.
Je pense à vulgariser la phrase : "La fonction exponentielle est une bijection réciproque de la fonction logarithme népérien".
Je souhaiterai avoir votre avis sur le sujet et sur la manière dont je compte le présenter :
Déjà, j’aimerai simplement utiliser des phrases écrites en français, c’est-à-dire dépourvues de symbole mathématique et représenter visuellement (un peu comme le fait MicMaths) le formalisme sous-jacent à la notion de fonction et de bijection.
C’est ici que j’ai besoin de vos conseils.
Voici le plan auquel j’ai songé :
Définition d’une fonction
J’explique ici le concept de fonction, je pense à utiliser le modèle de MicMaths dans son cours sur le site.
Il faudrait que j’explique c’est qu’est un ensemble, comme un grand sac contenant des nombres par exemple, que la fonction transforme un élément d’un ensemble de départ en un élément d’un ensemble d’arrivé (on peut représenter sous forme d’un tableau par exemple, qui à chaque élément de l’ensemble de départ fait correspondre un élément de l’ensemble d’arrivé).
Pour introduire la notion de bijection par la suite, il faudrait que j’insiste sur trois points :
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Un élément de l’ensemble d’arrivé peut être relié à plusieurs éléments de l’ensemble de départ.
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Chaque donnée de l’ensemble de départ subit une unique transformation, on ne peux pas avoir plusieurs images pour un antécédent (je ne parlerai pas des fonctions multivaluée car trop compliqué) (règle 1).
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Tous les éléments de l’ensemble de départ sont reliés à un élément de l’ensemble d’arrivé. En revanche, il peut y avoir des éléments en trop dans l’ensemble d’arrivé, qui ne sont pas reliés à un élément de l’ensemble de départ (règle 2).
Définition d’une bijection
Là je pense tout simplement donner l’exemple d’une fonction bijective, sans expliquer au préalable ni même écrire que cette fonction est bijective, et je dis que pour obtenir sa réciproque on inverse l’ensemble de départ et l’ensemble d’arrivé (ça semble approximatif comme ça, je sais).
Simplement pour que le lecteur se fasse une idée.
Ensuite je montrerai les exemples de fonctions non-bijectives et pourquoi on ne peut pas définir de réciproque :
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Si un élément de l’ensemble d’arrivée est relié à plusieurs éléments de l’ensemble de départ, ça met en défaut la règle 1.
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Si des éléments de l’ensemble d’arrivé ne sont pas reliés à un élément de l’ensemble de départ, àa met en défaut la règle 2.
La fonction exponentielle
Là, j’ai vraiment du mal car je ne vois pas comment introduire cette fonction de manière intuitive. Moi je pense à une dérivée, mais c’est trop compliqué.
La fonction logarithme néperien
J’explique que c’est la réciproque de la fonction exponentielle, je trace son graphe et je montre qu’il y a un axe de symétrie, c’est joli en plus.
Voilà le plan grosso-modo, bien évidement tout ceci n’est qu’à titre indicatif et je souhaiterai avoir votre avis. 
Bien à vous!
