[Analyse] Fonction implicite

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Auteur du sujet

Bonjour à tous,

Je revois en cours les fonctions implicites dans le cas dans fonctions à deux variables (dans $\mathbb{R}$) et je me souviens que déjà la première fois que je les avais vues je n’avais pas capté.

Voici un exemple d’exercice:

Montrer que l’équation $2{x^3} - {x^2}{y^4} + 2{y^3} + 3x - 2 = 0$ défini implicitement une fonction $y = g(x)$ dans un voisinage de $(0,1)$. Calculer la dérivée $g'(0)$.

L’exercice je sais le faire car ils sont tous du même genre et que les formules m’ont été données. Ce que je ne comprends pas c’est grosso modo ce que je fais là et d’où viennent les formules pour $g'(0)$ (rapport des dérivées partielles évaluées en ce point)…

Y a-t-il une interprétation géométrique d’une fonction implicite par hasard ?

Merci!

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On va illustrer avec un autre exemple. Partons de x²+y²=1. Tu reconnais cette équation, c’est l’équation du cercle. Cette courbe, ce n’est pas une fonction : pour une valeur de x, on a éventuellement plusieurs y. On ne peut pas l’écrire sous la forme y = f(x), et on ne peut pas calculer de dérivées. Ou alors, on traite séparément les 2 demi-cercles.

Ta fonction est plus compliquée, mais sauf erreur de ma part, c’est aussi le dessin d’une courbe fermée, une patatoïde. Et on s’intéresse à la forme de cette patatoïde dans des points particuliers.

Prenons un autre exemple : (x²+y²)² = x²-y². Cette courbe est de degré 4, la tienne est de degré 6. Cette courbe porte un nom : lemniscate de Bernouilli. Tu devrais pouvoir trouver quelques articles à partir de ce nom.

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Wikipedia

Il existe de multiples manières de définir une figure géométrique dans le plan. Ainsi, l’ensemble des points à distance 1 d’une origine O, définit un cercle. Cette même figure, d’après le théorème de Pythagore, se définit aussi par une équation cartésienne : x2 + y2 - 1 = 0. On peut encore la définir à l’aide d’une équation paramétrique, le cercle correspond à l’image du segment [0, 2π] par la fonction qui à θ, associe (cos θ, sin θ).

Le théorème des fonctions implicites permet, à l’aide d’une équation cartésienne, d’obtenir une équation paramétrique, mais pas de la même nature que celle citée en exemple. Il fournit bien des représentations sous forme d’une équation paramétrique, mais la courbe correspond à l’image d’une fonction qui à x associe (x, φ(x)). Plus simplement, on peut considérer que la courbe est localement le graphe de la fonction φ, ainsi cette forme particulière d’équation paramétrique est définie par une fonction de R dans R et non de R dans le plan.

Édité par Davidbrcz

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