Convergence d'une suite avec des nombres premiers

Bonjour,

J’essaye de trouver la convergence de la suite $\frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{10} + \frac{1}{17} + \frac{1}{28} + ...$ À chaque fois au dénominateur on ajoute le nombre premier qui suit (2+3+5+7+…).

J’avais pensé à plusieurs méthodes mais je ne sais pas si mes raisonnements sont corrects. La première est de faire une approximation sur le nième nombre premier p(n) en utilisant le théorème des nombres premiers qui dit que p(n) vaut environ $n.ln(n)$. Sachant qu’en réalité $p(n) > n.ln(n)$ alors la convergence obtenue avec cette approximation sera supérieure à celle obtenue avec la suite des nombres premiers. On étudie donc la convergence de :

Mais je ne sais pas du tout comment étudier la convergence de ce machin là ensuite quand n tend vers l’infini. Il y a peut-être moyen de simplifier ?

La deuxième méthode ce serait de proposer un encadrement quand n tend vers l’infini en utilisant les encadrements de Dusart sur le nième nombre premier et qui sont valables quand n tend vers l’infini. Mais là c’est encore plus difficile et au niveau calculatoire je ne sais pas comment faire.

Et enfin la troisième méthode j’avais pensé à utiliser une formule qui donne précisément le nième nombre premier et valable même quand n tend vers l’infini : http://perso.wanadoo.es/smaranda/ Une telle formule est bien entendu inutilisable en pratique pour obtenir de très grands nombres premiers mais peut-être qu’on pourrait obtenir la convergence de ma suite en remplaçant les nombres premiers au dénominateur par cette expression et en simplifiant ?

Merci à vous.

Salut,

Tu peux peut être de servir du fait que la somme des $n$ premiers nombres premiers est de l’ordre de $\frac 12n^2\ln n$ (voir cette question).

Merci.

Du coup j’ai du mal à voir ce que donnerait l’expression à étudier car ce que tu donnes fournit directement la somme des n premiers nombres premiers (je pense qu’on peut l’utiliser aussi quand n tend vers l’infini ?).

Je ne pense pas que ce soit ceci : $\frac{1}{\frac{n^2.ln(n)}{2}}$ puisque on cette expression prend directement la somme complète au dénominateur et ne fait pas de sommation au fur et à mesure comme la suite initiale.

L’idée aurait été de regarder la série $\sum \frac{2}{n^2\ln n}$. J’ai fait un test numérique en allant jusqu’à 127997 (i.e. le 11987 ème nombre premier), c’est en fait assez mauvais comme approximation. En bleu, ta suite, en orange la série que je propose.

Ah oui. Sinon il n’y a pas moyen en remplaçant par la formule qui donne exactement le nième nombre premier que j’ai postée plus haut ? Ou avec les encadrements ?

La formule complète parait difficilement manipulable… Il faudrait des encadrements sur les sommes des nombres premiers, mais il en faut des bons qui converge vers la même valeur pour que ce soit utile. Pas sûr que ça existe…

Ok. Et avec l’approximation n ln(n) il y a moyen de sortir une convergence ? Du coup la convergence avec la suite des nombres premiers sera inférieure à celle obtenue avec n ln(n).

Après ça reste une encore plus mauvaise approximation que celle que tu as proposée précédemment mais ça permet au moins de donner une borne supérieure pour la convergence.

Si comprends bien (j’ai lu en diagonale) vous avez un terme général de l’ordre de $(n^2\ln n)^{-1}$. Vous pouvez pas majorer bêtement par $1/n^2$ auquel cas tout marche gentiment ?

Si c’est avoir un majorant qui l’intéresse alors oui, c’est trivial. J’ai l’impression que c’est la limite elle-même qui l’intéresse.

Oui c’est trouver la limite.

Ah, mais à ce moment là, je vois même pas pourquoi $n\ln n$ donnerait une info potable

J’avais pensé que comme p(n) > n ln(n) alors le dénominateur serait toujours plus petit que celui avec la suite des nombres premiers et donc la convergence obtenue serait plus grande que celle obtenue avec la suite des nombres premiers, ça ferait donc une borne supérieure pour la convergence.

Je viens de voir ton edit, tu es sûr pour la convergence vers 1 ? Car avec les 17 000 premiers termes je trouve déjà 1.02

Oui je me suis trompé dans le calcul, ça commence à : $S_{n-1}$…

Bah je suis pas sûr que ça soit si intéressant. L’intérêt d’un encadrement, c’est d’avoir la possibilité de l’affiner autant que voulu.

Je peux aussi dire que ta somme est comprise entre $0$ et $\pi^\pi$. Mais c’est absolument inutile.

Je ne suis pas sûr qu’un encadrement du type entre $0$ et $2$ soit meilleur. D’ailleurs tu l’as vite vu : si tu veux un bon encadrement, tu n’as qu’à calculer un grand nombre de termes proprement.

En calculant les premiers chiffres de cette somme et en regardant sur l’oeis on trouve ça : http://oeis.org/A122989

C’est difficile.

Je vois, je ne pensais pas que ça allait être si difficile. Merci pour le lien.