Dérivée d'une primitive - Fonction à deux variables

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Auteur du sujet

Bonjour à tous,

J’ai la fonction $F(t)$ définie telle que $F(t) = \int\limits_t^{{t^2}} {\cos (xt)dx} $. On me demande de calculer $F'(0)$.

Dans mon cours, on a démontré une formule et en l’appliquant ça donne ceci:

$$F'(t) = 2t\cos (t^3) - \cos (t^2) + \int_t^{t^2} \frac{\partial }{\partial t}\cos (xt)dx$$

Le premier terme sera donc nul en zéro. Cependant, le terme avec l’intégrale me dérange un peu. Quelle est la façon la plus simple de l’évaluer ?

Je pensais calculer $\frac{\partial }{{\partial t}}(\cos (xt)) = - x\sin xt$ et puis évaluer l’intégrale mais si j’intègre j’aurai un terme en $\frac{1}{t^2}$… Du coup, je pourrai pas évaluer cela en $t = 0$… Où est-ce que je me trompe?

Merci!

edit adri1: mise en forme equation

Édité par adri1

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Faisons les choses dans l’ordre. Tu as une certaine expression de F(t), avec une intégrale. Tu peux reformuler F(t) sous une autre forme, beaucoup plus classique. Je ne vais pas faire les calculs, mais ça va ressembler à F(t) = sin(t²)/t² - sin(t)/t ou un truc comme ça. C’est l’étape la plus compliquée.

Et cette même fonction F, ainsi présentée de façon plus exploitable, tu vas savoir la dériver.

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Cette réponse a aidé l’auteur du sujet

Salut,

Il est probablement beaucoup plus propre de dériver directement l’expression intégrale, ça t’évitera de dériver une expression pas définie en $t=0$:-°

EDIT : ça se fait même de tête sans difficulté comme il y a plein de termes qui s’annulent.

EDIT 2 : je viens de voir que tu es déjà parti sur cette idée, je ne comprends pas ton problème avec le terme intégral qui reste. Regarde ses bornes.

Édité par adri1

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Auteur du sujet

Merci Adri1. Je pense que je vois ce que tu veux dire mais je bloque dessus.

Est-ce simplement ceci?

$$\int\limits_t^{{t^2}} {\frac{\partial }{{\partial t}}(\cos (xt))dx} = \left. {\cos (xt)} \right|_t^{{t^2}} = \cos ({t^3}) - \cos (t) = 0$$

Il y a peut-être un problème avec la dérivée interne (?).

Édité par sotibio

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Cette réponse a aidé l’auteur du sujet

Euh… Ton calcul est bizarre, la dérivée en $t$ va pas sauter avec l’intégration en $x$… Regarde les bornes de ton intégrale lorsque $t=0$.

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Auteur du sujet

Okay. Donc, j’ai pas du tout à calculer l’intégrale si je comprends bien car elle serait trop "compliquée" mais simplement voir que je cherche en $t = 0$ et du coup on aurait simplement $\int\limits_0^0 {\frac{\partial }{{\partial t}}(\cos (xt))dx} = 0$ ?

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Donc, j’ai pas du tout à calculer l’intégrale si je comprends bien car elle serait trop "compliquée"

C’est pas qu’elle est compliquée, c’est surtout qu’il n’y a aucune raison de se fatiguer à l’écrire explicitement puisque les deux bornes sont les mêmes. En plus dans le cas présent, l’expression que tu obtiendrais serait pas définie en $t=0$.

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