Jacobienne d'une fonction composée

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Bonjour à tous,

J’ai un exercice avec des fonctions composées à plusieurs variables et je vois pas trop quoi / comment faire…

Soient $D = \left\{ {(u,v) \in {R^2}:u + v \ne 0} \right\}$ et $f:D \to R$ la fonction définie par $f(u,v) = \ln ({u^2} + 2uv + {v^2})$

Puis, on considère aussi $g:{R^2} \to D$ une fonction différentiable telle que $g(0,3) = (0, - 3)$ et

$${J_g}(0,3) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 9}&0\\ { - 3}&3 \end{array}} \right)$$

On défini $h = f \circ g$. On me demande de trouver $\nabla h(0,3)$. Auriez-vous des pistes pour me dire comment faire et m’expliquer ce qu’il se passe ? À une variable j’ai pas de difficultés mais là c’est un peu plus compliqué :p

Merci d’avance!

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Hello,

Comme l’a dit adri1, développe le jacobien de la composée. Ta formule te dit que c’est le jacobien de f, composé avec g, multiplié par le jacobien de g.

Tu as déjà le jacobien de g, tu as g, il te faut donc le jacobien de f. Ensuite tu continues d’appliquer.

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Est-ce une formule qui nous dis ça ?

J’aime pas trop la façon de le dire (c’est plutôt intrinsèque à la signification de $\nabla$ et $\circ$ qu’un truc qu’on se donne), mais oui. La généralisation de $(u\circ v)'=v'\times u'\circ v$ à plusieurs dimensions, c’est $\nabla (u\circ v)=J_v^T\nabla u\circ v$.

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