Jacobienne d'une fonction composée

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Auteur du sujet

Bonjour à tous,

J’ai un exercice avec des fonctions composées à plusieurs variables et je vois pas trop quoi / comment faire…

Soient $D = \left\{ {(u,v) \in {R^2}:u + v \ne 0} \right\}$ et $f:D \to R$ la fonction définie par $f(u,v) = \ln ({u^2} + 2uv + {v^2})$

Puis, on considère aussi $g:{R^2} \to D$ une fonction différentiable telle que $g(0,3) = (0, - 3)$ et

$${J_g}(0,3) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 9}&0\\ { - 3}&3 \end{array}} \right)$$

On défini $h = f \circ g$. On me demande de trouver $\nabla h(0,3)$. Auriez-vous des pistes pour me dire comment faire et m’expliquer ce qu’il se passe ? À une variable j’ai pas de difficultés mais là c’est un peu plus compliqué :p

Merci d’avance!

Édité par sotibio

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Salut,

J’ai du mal à voir ce que tu attends de nous, qu’est-ce qui te bloque exactement ? À part te dire de développer $\nabla(f\circ g)$, je ne vois pas trop quoi te conseiller sans écrire directement la solution.

I don’t mind that you think slowly, but I do mind that you are publishing faster. – W. Pauli

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Hello,

Comme l’a dit adri1, développe le jacobien de la composée. Ta formule te dit que c’est le jacobien de f, composé avec g, multiplié par le jacobien de g.

Tu as déjà le jacobien de g, tu as g, il te faut donc le jacobien de f. Ensuite tu continues d’appliquer.

Édité par unidan

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Auteur du sujet

Hum, je suis tombé sur la bonne réponse mais je comprends pas trop d’où ça vient par contre. J’ai multiplié la jacobienne de $f$ avec celle de $g$… Est-ce une formule qui nous dis ça ?

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Cette réponse a aidé l’auteur du sujet

Est-ce une formule qui nous dis ça ?

J’aime pas trop la façon de le dire (c’est plutôt intrinsèque à la signification de $\nabla$ et $\circ$ qu’un truc qu’on se donne), mais oui. La généralisation de $(u\circ v)'=v'\times u'\circ v$ à plusieurs dimensions, c’est $\nabla (u\circ v)=J_v^T\nabla u\circ v$.

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