Exponentielle, dérivée et fonctions composées

Trouvez l'erreur

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Auteur du sujet

Bonjour à tous,

Je rencontre un petit problème avec la fonction exponentielle et sa dérivée, puisque j’aboutis à une absurdité.

En effet on ne peut pas avoir $\exp'(-x) = -\exp'(-x)$ et pourtant tout me paraît juste. Saurez-vous trouver l’erreur ?

Croal

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Salut,

Faut pas confondre évaluer la dérivée de $\exp$ en $-x$ et évaluer la dérivé de $x\mapsto \exp(-x)$ en $x$.

I don’t mind that you think slowly, but I do mind that you are publishing faster. — W. Pauli

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Ce que tu veux calculer, c’est la dérivé de $x\mapsto \exp(-x)$ en $x$. Le terme $v'\circ u(x)$ dans ton raisonnement, par contre, c’est la dérivée de $\exp$ en $-x$.

Ton problème, c’est que tu notes ces deux choses différentes de la même façon, à savoir $\exp '(-x)$. C’est ce qui t’induit en erreur.

I don’t mind that you think slowly, but I do mind that you are publishing faster. — W. Pauli

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La notation $\exp{'(-x)}$ n’aide pas beaucoup non plus. C’est correct mais on utilise habituellement $\exp{(...)}$ quand la fonction en exposant est lourde comme ici $\exp{(x^2 + 7x + 10)}$.

Dans ton cas, tu as meilleur temps d’écrire $e^{-x}$. Tu aurais éviter le contre-sens expliqué par adri1.

Mala malus mala mala dat.

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Non, mais ça oui.

On a $\exp(-x) = (v\circ u)(x)$ avec $u(x) = -x$ et $v(x) = \exp(x)$.

Ainsi $u'(x) = -1$ et $v'(x) = \exp'(x) = \exp(x)$.

Donc

$$\begin{align*} \exp'(-x) &= (v\circ u)'(x) \\ &= v'[u(x)]\cdot u'(x) & \text{par théorème des fonctions composées} \\ &= \exp'(-x) \cdot (-1) \\ &= -\exp'(-x) \end{align*}$$

$\exp'(-x) = \exp(-x) > 0$.

Donc $\exp'(-x) = -\exp'(-x)$ est absurde ???

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