Notions de base en probabilités

L'auteur de ce sujet a trouvé une solution à son problème.
Auteur du sujet

Bonjour,

Je viens ici pour demander un peu d'aide quand à des problèmes concernant des notions de bases en probabilités statistiques, j’espère donc obtenir un peu d'aide sur ce joli forum :D Je vous joins mon examen de cette année (que j'ai bien entendu raté :D)

  • 1) Au jeu de « Darts », j’atteins le centre de la cible en moyenne 2 fois sur 10.

    • a) De combien de fléchettes ai-je besoin pour atteindre le centre de la cible avec une probabilité de 70 pourcents au moins
    • b) Quelle est la probabilité d’atteindre mon but avec 3 fléchettes
  • 2) On casse cinq sucres en deux morceaux, un grand et un petit. Les morceaux sont alors mélangés puis regroupés deux par deux pour former de nouveaux sucres. Calculer la probabilité des évènements suivants :

    • a) En recollant les morceaux on retrouve les sucres initiaux
    • b) Généralisez la solution pour « n » sucres
  • 3) Au jeu de dés, je gagne 5€ si j’obtiens un 6, j’en gagne 2 avec un 4 ou 5 et dans les autres cas je perds 2€. Calculer :

    • a) L’espérance mathématique associé à ce jeu
    • b) La variance et l’écart type
  • 4) Pour l’examen oral de géographie, le professeur a préparé 30 fiches proposant chacune un paragraphe de la matière. Chaque élève doit en tirer 3 au hasard. Paul n’a étudié que le tiers de la matière.

    • Calculer la probabilité pour qu’il sache répondre à au moins deux des trois fiches.
  • 5) Quatre hommes déposent leur manteau au vestiaire. Etant donné qu’ils ont perdu leur ticket de vestiaire, leurs manteaux leur sont rendus au hasard. Quel est la probabilité pour que :

    • a) Aucun ne récupère son manteau ?
    • b) Deux récupèrent leur manteau ?
  • 6) Une école propose trois cours de langue : un en espagnol, un en français et un cours en allemand. Ces cours sont ouverts aux 100 élèves de l’école. Il y a 28 étudiants en espagnol, 26 en français et 16 en allemand. Il y a 12 étudiants qui suivent l’espagnol et le français, 4 qui suivent l’espagnol et l’allemand et 6 qui étudient le français et l’allemand. De plus, 2 élèves suivent les trois cours.

    • a) Si un élève est choisi au hasard, quelle est la probabilité qu’il ou elle ne fasse partie d’aucun de ces cours ?
    • b) Si deux élèves sont choisis au hasard, quelle est la probabilité qu’au moins un des deux suive un cours de langue ?

Je souhaiterais obtenir un petit coup de main quand aux notions à apprendre pour solutionner ces exercices, mon syllabus n'étant qu'un amas de contenu provenant d'internet que je ne comprends pas vraiment. Voici les pistes que j'ai pu obtenir pour les différentes questions.

  • 1) Aucune idée :(
  • 2) Bon d'accord, celui-ci non plus
  • 3) Aucun problème pour celui-ci, je me sers des formulaires suivantes (disposés dans un tableau pour plus de facilité)
    • E(x) = Xi*Pi
    • V(x) = Xi²*Pi - E(x)²
    • Ecart type : Sqrt(V(x))
  • 4) Je suppose que je dois me servir des formules combinatoires (sur principe du (nombre cas favorable / nombre de cas possible) ? Quelque chose qui me donnerait donc : 10C3 / 30C3, mais je ne vois pas comment en partant de ça je peux répondre à la question "au moins 2/3", il faudrait faire 1 - La probabilité qu'il ne réponde à aucune question ?

  • 5) Aucune idée :x

  • 6) C'est tout bête ça, juste des fractions si je ne me trompe pas.

Merci d'avance du temps accordé pour ces questions qui peuvent paraître stupide, mais je ne parviens pas à avoir le petit déblocage pour comprendre les probabilités. J’espère que vos conseils m'aideront :D Je ne m'attends pas à des réponses, mais juste une piste sur ce qu'il faut faire serait déjà magique !

Édité par Coyote

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Staff

Un bon conseil passe-partout en proba c'est de passer par l'événement contraire.

Par exemple au lieu de calculer à la question 5)a) : "aucun des manteaux" tu peux calculer "au moins un manteau" et ça rend la question plus facile.

Pour la question 1), j'imagine qu'il faut supposer que la probabilité de toucher la cible est de $2/10$. À ce moment là c'est une épreuve de Bernoulli et tu devrais trouver la formule dans ton cours :)

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

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Un bon conseil passe-partout en proba c'est de passer par l'événement contraire.

Par exemple au lieu de calculer à la question 5)a) : "aucun des manteaux" tu peux calculer "au moins un manteau" et ça rend la question plus facile.

Pour la question 1), j'imagine qu'il faut supposer que la probabilité de toucher la cible est de $2/10$. À ce moment là c'est une épreuve de Bernoulli et tu devrais trouver la formule dans ton cours :)

Holosmos

Pour la question 5), je ppense au contraire que c'est une mauvaise idée de passer par l'événement contraire. Parce que justement "au moins un" ca veut dire soit 1 soit 2 soit 3 soit 4, événements disjoints, il faut calculer les probabilités de chaque cas, et dans ce cas on demanderait directement la pprobabilité pour deux , lles énoncés sont quand même bien faits. À mon avis, il vaut mieux justement traduire un "au moins" par l'événement contraire. Et Aucun n'a le bon manteau se traduit par : "Le 1 ne doit pas avoir son manteau" puis "le 2 ne doit pas voir son manteau" puis "le 3…" puis le 4, en traduisant ça par des probabilités conditionnelles, en remarquant qu'alors le 4è n'a plus le choix et retirer les cas où il a son manteau (soit les cas où les homes 1, 2 et 3 ont les manteau 1, 2 et 3). Enfin c'est comme ça que je ferais, j'ai pas vérifié ^^

Ich bin très occupé cette année. Ne vous étonnez pas si je réponds par intermittence.

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+1 avec le goéland (c'est fou ce que ce site regorge d'animaux).
Quand tu dois calculer la probabilité qu'au moins un de …, alors il vaut mieux calculer la proba contraire, qui est celle qu'aucun ne …

Par exemple, pour la 1.a, tu dois trouver au bout de combien de lancers la proba de toucher la cible au moins une fois est supérieure à 0,7. En passant à la proba contraire, tu cherches plutôt à calculer au bout de combien de lancers la proba de rater la cible à chacun des lancers est inférieure à 0.3, sachant que la proba de rater un lancer est de 0,8. Est-ce que c'est plus simple ? :)
De même pour la 1.b, où on te demande la proba d'avoir touché la cible au moins une fois en 3 coups. C'est plus simple de calculer la proba d'avoir toujours raté la cible en 3 coups.

Le conseil que j'aurais à te donner, c'est que quand tu n'as aucune idée de quoi faire, il faut reformuler le problème.
Par exemple, pour la 1., "De combien de fléchettes ai-je besoin pour atteindre le centre de la cible avec une probabilité de 70% au moins" -> je veux toucher la cible -> combien de fois ? -> au moins une fois -> au moins une fois, donc je calcule la proba opposée, qui est "De combien de fléchettes ai-je besoin pour rater le centre de la cible à chaque fois avec une probabilité de 30% au plus" -> il faut que je trouve quelle est la proba de tout rater au bout de x lancers, puis je résous l'équation -> quelle est la proba de tout rater au bout de x lancers ? -> c'est celle de rater le premier lancer, et le second, et le troisième, …, et le xeme -> quelle est la proba de rater un lancer ? -> quelle est la proba de rater plusieurs lancers d'affilée ?
Ca peut paraître long, mais tu verras que tu acquerras rapidement des automatismes.

Si ça ne suffit pas, alors on commence à faire à la main une ou deux étapes, pour voir si ça nous évoque quelque chose.

Si ça ne suffit toujours pas, comme pour la 5.a et 5.b, alors il reste la solution ultime mais très barbare et calculatoire : faire un arbre de probabilités.
En vrai, je pense que la question 5.a ne peut se résoudre que comme ça à ton niveau, ou alors elle est mal posée : (attention, niveau mathématique plus élevé) telle que je le vois, j'ai l'impression que ça équivaut à demander le nombre de permutations de {1,2,3,4} sans point fixe, ce qui ne correspond pas au niveau moyen de ce sujet. :D Et on ne peut pas passer facilement par les probas conditionnelles, parce qu'il faut numéroter chacun des manteaux et prendre en compte le cas où 1 a pris le manteau 2 ou 3 ou 4 (ce sont des événements différents à conséquences non identiques), ce qui au final revient à faire un arbre de probabilités. Ou alors je me trompe, mais je n'en ai pas l'impression. Pareil pour la 5.b.

Édité par melepe

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La 5a marche bien avec un arbre. Probabilité que le premier ait le manteau d'un autre : 3/4 pour le second : 1 si le premier à le sien (ce qui a 1 chance sur 4 d'être vrai), 2/3 si ce n'est pas le cas et ainsi de suite $$(\frac{3}{4})*((\frac{1}{4})+(\frac{3}{4})*(\frac{2}{3}))*((\frac{1}{2})+(\frac{1}{2})*(\frac{1}{2}))*(\frac{3}{4})$$ En fait, j'ai un gros doute sur ce résultat, parce qu'il suppose que la probabilité qu'une personne récupère son manteau est indépendante du fait que les précédentes aient récupéré leur manteau ou non, et ne dépend que de si les personnes avant ont récupéré le manteau de la personne pour laquelle on calcule la probabilité. Tant que j'ai pas prouvé cette indépendance, mon résultat est faux. En fait, on remarque même que, mon calcul supposant à tord une indépendance, le résultat est $(\frac{3}{4})^4$, ce qui serait la probabilité que personne n'ait son manteau si les gens reposaient le manteau après en avoir reçu un (tirage avec remise). Du coup, on est sûrs que c'est faux. melepe avait raison, c'est pas si simple.


Pour la 5b, je procèderais autrement : je dénombrerais l'ensemble des répartitions possibles : $4!$
Combien ai-je de répartitions avec 2 qui n'ont pas leur manteau ? Avec 4 personnes, ça en fait deux qui ont échangé, il faut donc regarder combien on peut faire de groupes de 2 parmi 4. (on compte pour chaque binôme le cas où les autres ont leur manteau) $$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = 3!$$ Le rapport des cas favorables sur le total des cas donne la probabilité : $\frac{3!}{4!}=\frac{1}{4}$


Essayons de reprendre la même approche pour la a : combien a-t-on de répartitions où personne n'a son manteau. La première n'a pas le sien, elle peut en avoir 3 différents, dans chaque cas on a le même nombre de possibilités pour les 3 autres personnes, on a $3! = 6$ répartitions :

  • une des 3 personnes n'a pas son manteau dans les 3 disponibles. Si elle a le manteau de la première personne, il y a 2 cas : les deux autres ont leur manteau, ou les deux autres ont échangé
  • Si la personne qui n'a pas son manteau dans le lot a un manteau du groupe de 3 (2 possibilités), il y a toujours 2 cas, dont 1 où l'une des personnes a son manteau.

On a donc 3 cas de répartitions dans un trio où personne n'a son manteau, 3 possibilités pour la première personne, 9 cas au total.

Une probabilité de $\frac{9}{4!}=\frac{3}{8}$

On a un résultat, mais la méthode est moche et inapplicable si on passe à 5 personnes (120 cas à énumérer). Si c'est un examen de mathématiques, il va falloir trouver une meilleure démarche. Je doute d'y parvenir sans ressortir de cours de proba.

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Pour la 5a, je pense qu'on peut s'en sortir avec un simple dénombrement :

  • La personne 1 a 3 possibilités pour ne pas récupérer son manteau. On note $i$ la personne a qui appartenait qu'il a pris.
  • La personne $i$ a aussi 3 possibilités pour ne pas récupérer le sien (il reste 3 manteaux et le sien est déjà pris).
  • Finalement il reste 2 manteaux et 2 personnes. Comme la personne $i$ et son manteau on déjà été traité, on a donc 2 manteaux sur un ensemble de 3 et 2 personnes sur un ensemble de 3, il y a donc une personne au moins, notons la $j$, sur les 2 qui a encore son manteau au vestiaire. Comme il y a que 2 manteaux il n'y a plus qu'une possibilité pour que $j$ ne récupère pas son manteau.
  • On a traité 3 personnes, la 4ième n'aura systématiquement pas son manteau.

Finalement il y a $3\times 3=9$ cas favorables sur $4!$ possibles, donc une probabilité de $\frac{3}{8}$. On retrouve le 9 dans le lien donné concernant le dénombrement sans point fixe (sans utiliser la formule généralisé).

Édité par Freedom

En ce qui concerne la 2), je ferais ça de la manière suivante :

Le principe est d'associer à un grand morceau un petit. On part d'un ensemble $G$ contenant les grands morceaux de sucres, un ensemble $P$ celui des petits.

Une association de sucres est donc une application injective (et donc ici bijective, cas particulier compte tenu des cardinaux des ensembles). Il suffit donc de compter le nombres d'application injectives de $G$ sur $P$.

Et enfin pour la 4) : vu qu'il faut "au moins 2", soit tu fais "exactement 2" ou "exactement 3" ou tu passes par les événements contraires, mais ça fait toujours "0" ou "1" donc dans les deux cas il faut en calculer deux. Et là, en reconsidérant bien le problème, il faut bien faire des combinaisons, mais ne pas oublier qu'il faut choisir ET les questions où il sait répondre ET celles où il ne sait pas

(loi hypergéométrique, pour ne pas la nommer).

Ich bin très occupé cette année. Ne vous étonnez pas si je réponds par intermittence.

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