Centre de masse d'une hémisphère

Salut,

Je comprends pas ce que tu essayes de faire. Tu veux trouver le centre de masse d’une hémisphère ? D’une coquille de demi sphère ? Ou d’une demi-boule ? La densité est constante ou pas ? Sinon, quelle est sa forme ?

Sinon le dS apparait parce qu’un centre de masse est la position moyenne des points qui constituent ton objet pondérée par la densité. Donc mathématiquement, c’est $\dfrac 1m\int_\Omega \rho\vec x\mathrm d\Omega$. Dans ton cas, $\Omega$ est un hémisphère si tu as bien définit ton problème, et donc $\mathrm d\Omega$ est un élément de surface. Son expresssion sur une sphère est par exemple $r^2\sin\theta\mathrm d\theta\mathrm d\phi$ en coordonées sphériques. D’expérience, c’est plus facile à intégrer en coordonées cylindrique par contre.

La formule que tu as établi en notation physicien est fausse : "dS" est un élément de surface tu dois donc intégrer selon deux variables sinon ton résultat est toujours une différentielle.

Veux-tu le centre de masse d’une demi sphère (donc creux ) ou d’une demi boule ( donc plein ) ?

Dans le cas de la demi sphère tu dois bien déterminer dS, dans le cas de la demi boule tu dois déterminer dV.

Ici un dessin typique pour se souvenir comment trouver les élément différentiels en sphérique :

En combinant deux de ces trois éléments on a les différents $dS$ possible et en combinant les trois on a le $dV$ (en coordonnée sphérique).

Tu as déjà vu ce genre de schéma ?

C’est ensuite les bornes des intégrales qui vont décider si tu intègres sur une boules complète, demi-boule, quart de boule (ou plus compliqué).

edit: grille par @dri

Pour reprendre deux trois trucs maintenant que je suis sur PC.

La densité est constante ou pas ?

Oui, sinon j’aurais du écrire $\sigma(r,\theta,\phi)$ c’est ça ?

Dans l’idée, oui $\sigma$ peut être une fonction de $\theta$ et $\phi$ ($r$ étant constant sur une hémisphère, ça sert à rien d’avoir une dépendance en $r$ dans ton cas). En pratique, même si $\sigma$ est une fonction, on écrit rarement la dépendance explicitement, c’est pour ça que je préfère demander. Note que comme $\sigma$ est une constante, elle n’intervient pas dans le calcul.

Tu peux réécrire $\frac 1m\int_S\sigma \vec x\mathrm dS$ comme $\frac \sigma m\int_S\vec x\mathrm dS$ et comme $m=\sigma 2\pi r^2$, tu te retrouves avec un problème purement géométrique et tu veux calculer $\frac 1{2\pi r^2}\int_S\vec x\mathrm dS$.

En fait je sors un $\mathrm{dS}$ de mon chapeau via : $\sigma = \dfrac{dm}{dS}$ et alors là je ne saisie pas l’idée de deux variables à intégrer ?

La vache, je sais pas comment tu arrives à exprimer aussi bizarrement des idées aussi simples. Le $\mathrm dm$ n’intervient même pas dans le problème, c’est purement géométrique comme histoire. Reprends mon intégrale sur un domaine $\Omega$ quelconque, est-ce que tu la comprends ? J’ai l’impression que ta confusion vient juste du fait que tu ne prends pas le problème par le bon bout.

Quand à l’histoire des deux variables, ça vient juste du fait qu’une surface est un objet à deux dimensions. Imagine plutôt que tu es en coordonnées cartésiennes et que tu veux intégrer une fonction $f$ (genre la densité) sur un rectangle de longueur $L$ dans la direction $x$ et de largeur $l$ selon $y$. Cette intégrale sera $\int _0^L\int_0^l \rho\mathrm dx\mathrm dy$. Les physiciens sont paresseux et on préfère noter ça $\int_S\rho\mathrm dS$. On dit qu’on intègre sur toute la surface avec des petits éléments de surface $\mathrm dS=\mathrm dx\mathrm dy$, tu peux les voir comme des carrés infiniment petits. En pratique quand on fait le calcul, on se retrouve avec deux intégrales simples emboîtées.

Déjà vue, surtout en maths. Mais là dans le cas présent j’ai pas l’impression que ça soit clair. Par exemple je pense ne pas avoir de $dr$ à calculer.

En effet, tu n’as pas de $\mathrm dr$ comme tu es sur la sphère. Si tu reprends le rectangle, on avait dit que $\mathrm dS=\mathrm dx\mathrm dy$. Sur une sphère, si on dessine un truc qui se rapporche le plus d’un rectangle possible, on se retrouve avec un rectangle un peu arrondi, de longueur $r\mathrm d\theta$ et de largueur $r\sin\theta\mathrm d\phi$ (là il faut juste se rappeler qu’un arc de cercle d’angle $\alpha$ et de rayon $R$ a une longueur $\alpha R$).

Bah je veux bien mais mon équation en l’état, j’peux rendre compte des coordonnées cylindrique qu’à partir du $\mathrm{dS}$. Mais j’ai du mal à voir comment ça marche, c’est vraiment juste "comment je fabrique ce dS" ?

En effet, c’est dans le dS que ça va apparaitre, mais aussi dans les bornes d’intégration. Là, plutôt que de dessiner des petits rectangles arrondis avec des cotés dans les directions $\theta$ et $phi$, on va faire des rectangles avec des côtés dans les directions $z$ et $\phi$. Est-ce que tu arrives à dire quelles sont les deux longueurs de nos petits rectangles ?

Pour la masse, pas besoin de passer par une intégrale. De la même façon que $\rho V=m$, ben on a $\sigma S=m$ comme $\sigma$ est constante.

Pour le carré de sphère, c’est ça. Le "à retenir" vient directement de ce qu’il y a sur le petit schéma au dessus, c’est juste l’aire du petit carré obtenue en multipliant la longueur des deux côtés. Il n’y a rien de compliqué.

Si l’intégrale avec le $\mathrm d\Omega$ te convient, remplace juste $\Omega$ par $S$ et tu obtiens un $\mathrm dS$… C’est pareil qu’une intégrale simple comme tu les as vu au lycée, sauf qu’on intègre sur une surface au lieu d’un axe, le $\mathrm dS$ joue exactement le même rôle que le $\mathrm dx$ que tu as vu au lycée.

Je pense que tu pars de loin niveau intégrales, tu devrais regarder un cours sur les intégrales multiples, intégrales paramétrés ( ici pas besoin mais ça permet de comprendre des subtilités) et sur les coordonnée polaires puis sphériques.

Petit détails ( au cas ou) : la longueur $l$ d’un arc de cercle de rayon R et d’angle $\alpha$ c’est $l=R\alpha$ ( et le cercle c’est le cas particulier pour un tour complet $\alpha = 2 \pi$ )

Une surface d’un rectangle c’est le produit des longueurs des deux cotes ( you don’t say… )

Un peu de trigo et tadam

et un truc pour aider a comprendre :

ou

Et plein d’autre ici : https://www.google.com/search?q=infinitesimal+spherical&client=firefox-b&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwjO0JOeweDdAhXqzIUKHf4EAVoQ_AUIDigB&biw=1920&bih=944

Le $\ell=r\mathrm d\theta$ est correct parce que l’arc de cercle est sur un méridien (donc de rayon $r$), mais $L=r\sin\theta\mathrm d\phi$ parce que l’arc de cercle est sur un parallèle (donc un cercle de rayon $r\sin\theta$).

EDIT : C’est un truc qu’on voit très bien sur le schéma que tu as posté juste avant, et qu’on on voit aussi sur les différents schéma de Vael (qui demandent peut être un peu plus d’habitude pour être lus comme ils sont bien chargés).