Centre de masse d'une hémisphère

Calcul d'une surface

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Bonjour aux physiciens et mathématiciens,

Là j’bloque sur un truc tout bête de mathématiques appliqués à la mécanique du solide. Pour calculer un centre de masse j’dois trouver un dS\mathrm{dS} qui correspondent à mon problème. J’ai vue sur internet que le dS\mathrm{dS} s’apparente à une tranche de sphère creuse :

dS en rouge.
dS en rouge.

Je ne sais pas comment trouver ce dS\mathrm{dS} ni mathématiquement ni logiquement pourquoi en ai-je besoin ?

En gros j’ai réussi à établir zG=1m0RzσdS{\displaystyle \mathrm{z_G = \dfrac{1}{m} \int_0^R z\sigma dS}} mais l’expression du dS\mathrm{dS} ne semble pas trivial… Si quelqu’un pouvait m’expliquer proprement :

  • Pourquoi on utilise un dS de cette forme là précisément ?
  • Comment calcule-t-on ce type de surface ?

Merci pour le temps de lecture accordé à ce message de noob :p

Édité par Blackline

Нова Проспект

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Salut,

Je comprends pas ce que tu essayes de faire. Tu veux trouver le centre de masse d’une hémisphère ? D’une coquille de demi sphère ? Ou d’une demi-boule ? La densité est constante ou pas ? Sinon, quelle est sa forme ?

Sinon le dS apparait parce qu’un centre de masse est la position moyenne des points qui constituent ton objet pondérée par la densité. Donc mathématiquement, c’est 1mΩρxdΩ\dfrac 1m\int_\Omega \rho\vec x\mathrm d\Omega. Dans ton cas, Ω\Omega est un hémisphère si tu as bien définit ton problème, et donc dΩ\mathrm d\Omega est un élément de surface. Son expresssion sur une sphère est par exemple r2sinθdθdϕr^2\sin\theta\mathrm d\theta\mathrm d\phi en coordonées sphériques. D’expérience, c’est plus facile à intégrer en coordonées cylindrique par contre.

I don’t mind that you think slowly, but I do mind that you are publishing faster. — W. Pauli

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La formule que tu as établi en notation physicien est fausse : "dS" est un élément de surface tu dois donc intégrer selon deux variables sinon ton résultat est toujours une différentielle.

Veux-tu le centre de masse d’une demi sphère (donc creux ) ou d’une demi boule ( donc plein ) ?

Dans le cas de la demi sphère tu dois bien déterminer dS, dans le cas de la demi boule tu dois déterminer dV.

Ici un dessin typique pour se souvenir comment trouver les élément différentiels en sphérique :

Image wikimedia
Image wikimedia

En combinant deux de ces trois éléments on a les différents dSdS possible et en combinant les trois on a le dVdV (en coordonnée sphérique).

Tu as déjà vu ce genre de schéma ?

C’est ensuite les bornes des intégrales qui vont décider si tu intègres sur une boules complète, demi-boule, quart de boule (ou plus compliqué).

edit: grille par @dri

Édité par Vael

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Auteur du sujet

@adri1

Je comprends pas ce que tu essayes de faire.

J’ai essayé de parler de

sphère creuse 

à un moment, mais j’ai pas forcément était clair. Du coups oui, c’est pas une boule, c’est une sorte de coquille dans mon cas.

La densité est constante ou pas ?

Oui, sinon j’aurais du écrire σ(r,θ,ϕ)\sigma(r,\theta,\phi) c’est ça ? Dans ce que j’essaye de calculer c’est : σ=dmdS=cste\sigma = \dfrac{dm}{dS} = cste parce que j’imagine un solide régulier dans sa densité. (je sais pas du tout si ce que je dis est compréhensible ^^ )

D’expérience, c’est plus facile à intégrer en coordonées cylindrique par contre.

ça a l’air cool, parce que j’ai pas besoin de m’embêter avec trop de paramètres. Genre ici je sais à peu près que mon centre de masse est sur l’axe verticale. Avec σ=cste\sigma = cste en tout cas c’est l’impression que j’ai (de manière "pseudo-logique" je sais pas si ça colle vraiment). Et du coups j’ai pas envie de trimbaler un max d’angles et de x,y,z\mathrm{x,y,z}

@Vael

La formule que tu as établi en notation physicien est fausse : "dS" est un élément de surface tu dois donc intégrer selon deux variables sinon ton résultat est toujours une différentiel.

En fait je sors un dS\mathrm{dS} de mon chapeau via : σ=dmdS\sigma = \dfrac{dm}{dS} et alors là je ne saisie pas l’idée de deux variables à intégrer ?

Veux tu le centre de masse d’une demi sphère (donc creux ) ou d’une demi boule ( donc plein ) ?

Yes, un truc creux :) d’épaisseur négligeable (ça se dit ?).

Tu as déjà vu ce genre de schéma ?

Déjà vue, surtout en maths. Mais là dans le cas présent j’ai pas l’impression que ça soit clair. Par exemple je pense ne pas avoir de drdr à calculer.


Mais ma question c’est pourquoi je dois faire intervenir un dS aussi compliqué et en quoi les angles θ\theta etc. interviennent dans le calcul ? En vrai j’dois trouver un truc du genre:

zG=αR\mathrm{z_G = \alpha R}

Avec α\alpha une constante toute bête, qui ne dépend de rien ?

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OK. Comme la densité est constante, par symétrie ton centre de masse est en effet forcément sur l’axe zz. Donc si tu essayes d’écrire ton problème en coordonées cylindrique ça va rouler tout seul.

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Bah je veux bien mais mon équation en l’état, j’peux rendre compte des coordonnées cylindrique qu’à partir du dS\mathrm{dS}. Mais j’ai du mal à voir comment ça marche, c’est vraiment juste "comment je fabrique ce dS" ?

Un truc comme ça ?

Édité par Blackline

Нова Проспект

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Pour reprendre deux trois trucs maintenant que je suis sur PC.

La densité est constante ou pas ?

Oui, sinon j’aurais du écrire σ(r,θ,ϕ)\sigma(r,\theta,\phi) c’est ça ?

Dans l’idée, oui σ\sigma peut être une fonction de θ\theta et ϕ\phi (rr étant constant sur une hémisphère, ça sert à rien d’avoir une dépendance en rr dans ton cas). En pratique, même si σ\sigma est une fonction, on écrit rarement la dépendance explicitement, c’est pour ça que je préfère demander. Note que comme σ\sigma est une constante, elle n’intervient pas dans le calcul.

Tu peux réécrire 1mSσxdS\frac 1m\int_S\sigma \vec x\mathrm dS comme σmSxdS\frac \sigma m\int_S\vec x\mathrm dS et comme m=σ2πr2m=\sigma 2\pi r^2, tu te retrouves avec un problème purement géométrique et tu veux calculer 12πr2SxdS\frac 1{2\pi r^2}\int_S\vec x\mathrm dS.

En fait je sors un dS\mathrm{dS} de mon chapeau via : σ=dmdS\sigma = \dfrac{dm}{dS} et alors là je ne saisie pas l’idée de deux variables à intégrer ?

La vache, je sais pas comment tu arrives à exprimer aussi bizarrement des idées aussi simples. :D Le dm\mathrm dm n’intervient même pas dans le problème, c’est purement géométrique comme histoire. Reprends mon intégrale sur un domaine Ω\Omega quelconque, est-ce que tu la comprends ? J’ai l’impression que ta confusion vient juste du fait que tu ne prends pas le problème par le bon bout.

Quand à l’histoire des deux variables, ça vient juste du fait qu’une surface est un objet à deux dimensions. Imagine plutôt que tu es en coordonnées cartésiennes et que tu veux intégrer une fonction ff (genre la densité) sur un rectangle de longueur LL dans la direction xx et de largeur ll selon yy. Cette intégrale sera 0L0lρdxdy\int _0^L\int_0^l \rho\mathrm dx\mathrm dy. Les physiciens sont paresseux et on préfère noter ça SρdS\int_S\rho\mathrm dS. On dit qu’on intègre sur toute la surface avec des petits éléments de surface dS=dxdy\mathrm dS=\mathrm dx\mathrm dy, tu peux les voir comme des carrés infiniment petits. En pratique quand on fait le calcul, on se retrouve avec deux intégrales simples emboîtées.

Déjà vue, surtout en maths. Mais là dans le cas présent j’ai pas l’impression que ça soit clair. Par exemple je pense ne pas avoir de drdr à calculer.

En effet, tu n’as pas de dr\mathrm dr comme tu es sur la sphère. Si tu reprends le rectangle, on avait dit que dS=dxdy\mathrm dS=\mathrm dx\mathrm dy. Sur une sphère, si on dessine un truc qui se rapporche le plus d’un rectangle possible, on se retrouve avec un rectangle un peu arrondi, de longueur rdθr\mathrm d\theta et de largueur rsinθdϕr\sin\theta\mathrm d\phi (là il faut juste se rappeler qu’un arc de cercle d’angle α\alpha et de rayon RR a une longueur αR\alpha R).

Bah je veux bien mais mon équation en l’état, j’peux rendre compte des coordonnées cylindrique qu’à partir du dS\mathrm{dS}. Mais j’ai du mal à voir comment ça marche, c’est vraiment juste "comment je fabrique ce dS" ?

En effet, c’est dans le dS que ça va apparaitre, mais aussi dans les bornes d’intégration. Là, plutôt que de dessiner des petits rectangles arrondis avec des cotés dans les directions θ\theta et phiphi, on va faire des rectangles avec des côtés dans les directions zz et ϕ\phi. Est-ce que tu arrives à dire quelles sont les deux longueurs de nos petits rectangles ?

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Auteur du sujet

et comme m=σ2πr2m=\sigma 2\pi r^2

Pourquoi, comment, diantre ?

J’avais essayé de retrouver mm avec la surface d’une sphère (divisée par deux) mais j’bloque un peu pour trouver d’où vient le résultat fondamentalement. Voici mon raisonnement :

J’ai réussi en fait :D

dm=σdSdm=\sigma dS

m=σdSm=\sigma \int dS

Avec cette fois dSdS surface d’une hémisphère, donc on prend le volume d’une sphère :

Vs=43πR3\mathrm{V_s=\dfrac 43\pi R^3}

Que l’on dérive selon RR pour obtenir la surface d’une sphère :

Ss=4πR2\mathrm{S_s=4\pi R^2}

Et pour avoir la surface d’une hémisphère on divise par deux :

Shs=2πR2\mathrm{S_{hs}=2\pi R^2}

oh ça marche :magicien:

La vache, je sais pas comment tu arrives à exprimer aussi bizarrement des idées aussi simples. :D

En y connaissant rien ? :D

Reprends mon intégrale sur un domaine Ω\Omega quelconque, est-ce que tu la comprends ?

L’intégrale me va, mais quand tu sors dSdS j’ai l’impression, que ça vient de nul part >_<

Sur une sphère, si on dessine un truc qui se rapporche le plus d’un rectangle possible, on se retrouve avec un rectangle un peu arrondi, de longueur rdθr\mathrm d\theta et de largueur rsinθdϕr\sin\theta\mathrm d\phi (là il faut juste se rappeler qu’un arc de cercle d’angle α\alpha et de rayon RR a une longueur αR\alpha R).

Tu parle d’un carré de surface de sphère ? Genre :

Mais d'où "a retenir", comment tu l'obtiens ce truc de dS lol
Mais d'où "a retenir", comment tu l'obtiens ce truc de dS lol

Нова Проспект

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Pour la masse, pas besoin de passer par une intégrale. De la même façon que ρV=m\rho V=m, ben on a σS=m\sigma S=m comme σ\sigma est constante.

Pour le carré de sphère, c’est ça. Le "à retenir" vient directement de ce qu’il y a sur le petit schéma au dessus, c’est juste l’aire du petit carré obtenue en multipliant la longueur des deux côtés. Il n’y a rien de compliqué.

Si l’intégrale avec le dΩ\mathrm d\Omega te convient, remplace juste Ω\Omega par SS et tu obtiens un dS\mathrm dS… C’est pareil qu’une intégrale simple comme tu les as vu au lycée, sauf qu’on intègre sur une surface au lieu d’un axe, le dS\mathrm dS joue exactement le même rôle que le dx\mathrm dx que tu as vu au lycée.

Édité par adri1

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Je pense que tu pars de loin niveau intégrales, tu devrais regarder un cours sur les intégrales multiples, intégrales paramétrés ( ici pas besoin mais ça permet de comprendre des subtilités) et sur les coordonnée polaires puis sphériques.

Petit détails ( au cas ou) : la longueur ll d’un arc de cercle de rayon R et d’angle α\alpha c’est l=Rαl=R\alpha ( et le cercle c’est le cas particulier pour un tour complet α=2π\alpha = 2 \pi )

Une surface d’un rectangle c’est le produit des longueurs des deux cotes ( you don’t say… :p )

Un peu de trigo et tadam

et un truc pour aider a comprendre :

Image utilisateur
Image utilisateur

ou

Image utilisateur
Image utilisateur

Et plein d’autre ici : https://www.google.com/search?q=infinitesimal+spherical&client=firefox-b&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwjO0JOeweDdAhXqzIUKHf4EAVoQ_AUIDigB&biw=1920&bih=944

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Auteur du sujet

Pour le carré de sphère, c’est ça. Le "à retenir" vient directement de ce qu’il y a sur le petit schéma au dessus, c’est juste l’aire du petit carré obtenue en multipliant la longueur des deux côtés. Il n’y a rien de compliqué.

Ok ça c’est pas mal :D j’avais pas fais gaffe…

Après à titre personnel je ne trouve que (avec P=αr\mathcal P = \alpha r) :

{=rdθL=rdφ\mathrm{ \left\{\begin{aligned} \ell &= r d \theta \\ L &= r d \varphi \end{aligned}\right. }

Géométriquement j’arrive pas à trouver la raison d’un terme en θ\theta (car on a affaire à deux cercle de même taille finalement, peut importe si c’est en latitude ou en longitude ??). Mais j’vais regarder mes cours de mathématiques, j’crois qu’il y a deux ans j’ai du détailler ça correctement :) ! A partir de là ça devrait rouler.


Merci à vous deux de m’avoir aidé ! C’est pas simple, ça fait longtemps que j’ai pas utiliser les maths et encore moins appliqué à de la mécanique… :honte:


PS : petite erreur sur ton premier schéma Vael, il y a une conversion à faire à un moment θ1θ2\mathrm{\theta_1 \to \theta_2}.

Нова Проспект

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Le =rdθ\ell=r\mathrm d\theta est correct parce que l’arc de cercle est sur un méridien (donc de rayon rr), mais L=rsinθdϕL=r\sin\theta\mathrm d\phi parce que l’arc de cercle est sur un parallèle (donc un cercle de rayon rsinθr\sin\theta).

EDIT : C’est un truc qu’on voit très bien sur le schéma que tu as posté juste avant, et qu’on on voit aussi sur les différents schéma de Vael (qui demandent peut être un peu plus d’habitude pour être lus comme ils sont bien chargés).

Édité par adri1

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D’ailleurs en faisant le calcul, je me dit qu’il n’y a pas forcément besoin de passer en cylindrique, les choses se simplifient assez bien un fois l’intégrale projetée sur zz.

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Auteur du sujet

Bah je pensais que c’est ce que j’avais fait en faisant : OM=z\mathrm{\vec{OM}=z} dans :

zG=1m0RzσdS{\displaystyle \mathrm{z_G = \dfrac{1}{m} \int_0^R z\sigma dS}}

Mais c’est pas ça, projeter sur zz ? :o

Нова Проспект

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Pas vraiment.

L’intégrale, c’est 12πr2SpdS\frac1{2\pi r^2}\int_S\vec p\mathrm dS. Si tu projetes ça sur zz, il te reste 12πr2SzdS\frac1{2\pi r^2}\int_Sz\mathrm dS, le reste ne bouge pas. Il n’y a que p\vec p qui est projeté. D’ailleurs, il n’y a aucune intégrale qui se fait selon rr à aucun moment (tu intègres selon θ\theta et ϕ\phi), donc il n’y a aucune raison pour qu’une apparaisse.

PS : évite de mettre des \mathrm partout dans tes formules, ça rend les choses plus difficiles à lire qu’autre chose.

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Auteur du sujet

Mes brones d’intégrations sont merdiques en effet.

Pourquoi pas de '\mathrm' ? Moi j’trouve que ça s’intègre mieux à un texte. Puis qui ta permis de regarder à l’intérieur de mes dollarz ? :p

Нова Проспект

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Pourquoi pas de '\mathrm' ? Moi j’trouve que ça s’intègre mieux à un texte. Puis qui ta permis de regarder à l’intérieur de mes dollarz ?

Ben parce que l’idée est justement de pouvoir facilement distinguer ce qui est des maths de ce qui est du texte, et dans les cas particuliers de pouvoir distinguer certains objets particuliers du reste (comme ici le d\mathrm d droit marquant une différentielle). Pas besoin de regarder dans les dollars, d’ailleurs, ça se voit à des kilomètres que tout est en roman.

Édité par adri1

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