Notation rigoureuse des intégrales de surface

Salut à tous !

Je vois régulièrement des intégrales de surface exprimées sous deux formes différentes :

$S = \int_S \mathrm dS$ $S = \iint_S \mathrm dS$ $$

Par exemple, la deuxième forme est utilisée pour le théorème de Gauss :

$\Phi_E^S = \int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{S}{\overrightarrow {E}.}\,{\overrightarrow {\mathrm {d} S}}={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}\rho \,\mathrm {d} V$ $$

J’ai souvenir d’une vieille question posée à un examen qui portait sur l’écriture correcte d’une intégrale de surface (avec quelques subtilités). Si je devais donner une réponse avec mes connaissances actuelles, je dirais que le nombre de $\int$ est égal au nombre de différentielles $\mathrm d$ qu’on trouve dans l’intégrale.

Par conséquent, je pense que la bonne écriture est :

$S = \int_S \mathrm dS = \iint_S \mathrm dx \mathrm dy$

Qu’en pensez-vous ?

Franchement, tant que c’est lisible, compréhensible, pas trop loufoque et que tu ne te perds pas dans tes notations, je pense que tu peux faire un peu comme tu veux.

Personnellement, j’aurais tendance à tout faire avec un seul signe, ça me fait moins de trucs à écrire…

Pour moi, tout dépend de la plage sur laquelle tu fais ton intégration. Si cette plage est notée S, un seul symbole. Si cette plage est une intégration sur la variable x, et dans ce que tu intègres, tu as une intégration sur y, alors 2 symboles.

Mais comme Kanaal, je dirais que c’est le bon sens qui prime.

Pour autant que je souvienne, la convention dépend des domaines, donc il n’y a pas de bonne réponse.

C’est même pire que ça, ça dépend des auteurs et de leur humeur. Personnellement, suivant ce que j’écris, ça peut passer de la forme explicite avec toutes les bornes genre $\int_{x_1}^{x_2}\int_{y_1}^{y_2}f(x,y)\det(\mathbf J)\mathrm dx\mathrm dy$ si j’ai besoin de préciser mon système de coordonnées à une forme hyper générale et laconique du genre $\int_\Omega f$ (je me fatigue même pas à écrire les différentielles). Tout dépend de l’information que l’on veut véhiculer.

Merci pour vos retours !

Plusieurs questions me viennent à l’esprit si on travaille dans $\mathbb R^2$ muni du repère cartésien usuel :

$S = \iint_S \mathrm dx \mathrm dy$

1. À gauche, on a une surface au sens mathématique du terme : un ensemble de points blablabla…
   Pour respecter l’égalité, on a besoin (à droite) de l’expression d’une surface identique.
   J’ai plutôt l’impression que le second membre désigne l’aire d’une surface.
   $$
   Je me demande si ce que j’ai écrit est correct mathématiquement, au sens strict.
   En ne connaissant que le second membre, a-t-on toutes les informations nécessaires pour retrouver univoquement $S$ ?

2. Le symbole $\int$ désigne une somme continue.
   Si j’écris 2 fois ce symbole dans l’expression d’une surface, alors j’ai décomposé ma surface selon deux paramètres, disons $x$ et $y$.
   Tout point de la surface peut être désigné par un couple $(x, y) \in S$, ce qui explique la présence de deux $\int$.
   $$
   Peut-on alors dire que dans l’expression ci-dessous, $\mathrm d\sigma$ représente un morceau de surface, et donc $\sigma = S$ ?

$S = \int_S \mathrm d\sigma$

Merci, ça clarifie bien des choses !