Notation rigoureuse des intégrales de surface

Mathématiquement : intégrale simple ou multiple ?

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Auteur du sujet

Salut à tous ! ^^

Je vois régulièrement des intégrales de surface exprimées sous deux formes différentes :

S=SdSS = \int_S \mathrm dS S=SdSS = \iint_S \mathrm dS

Par exemple, la deuxième forme est utilisée pour le théorème de Gauss :

ΦES=SE.dS=1ε0VρdV\Phi_E^S = \int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{S}{\overrightarrow {E}.}\,{\overrightarrow {\mathrm {d} S}}={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}\rho \,\mathrm {d} V

J’ai souvenir d’une vieille question posée à un examen qui portait sur l’écriture correcte d’une intégrale de surface (avec quelques subtilités). Si je devais donner une réponse avec mes connaissances actuelles, je dirais que le nombre de \int est égal au nombre de différentielles d\mathrm d qu’on trouve dans l’intégrale.

Par conséquent, je pense que la bonne écriture est :

S=SdS=SdxdyS = \int_S \mathrm dS = \iint_S \mathrm dx \mathrm dy

Qu’en pensez-vous ?

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Franchement, tant que c’est lisible, compréhensible, pas trop loufoque et que tu ne te perds pas dans tes notations, je pense que tu peux faire un peu comme tu veux.

Personnellement, j’aurais tendance à tout faire avec un seul signe, ça me fait moins de trucs à écrire…

+3 -0

Pour moi, tout dépend de la plage sur laquelle tu fais ton intégration. Si cette plage est notée S, un seul symbole. Si cette plage est une intégration sur la variable x, et dans ce que tu intègres, tu as une intégration sur y, alors 2 symboles.

Mais comme Kanaal, je dirais que c’est le bon sens qui prime.

+0 -0

Pour autant que je souvienne, la convention dépend des domaines, donc il n’y a pas de bonne réponse.

Hier, dans le parc, j’ai vu une petite vieille entourée de dinosaures aviens. Je donne pas cher de sa peau.

+2 -0

Pour autant que je souvienne, la convention dépend des domaines, donc il n’y a pas de bonne réponse.

Gabbro

C’est même pire que ça, ça dépend des auteurs et de leur humeur. Personnellement, suivant ce que j’écris, ça peut passer de la forme explicite avec toutes les bornes genre x1x2y1y2f(x,y)det(J)dxdy\int_{x_1}^{x_2}\int_{y_1}^{y_2}f(x,y)\det(\mathbf J)\mathrm dx\mathrm dy si j’ai besoin de préciser mon système de coordonnées à une forme hyper générale et laconique du genre Ωf\int_\Omega f (je me fatigue même pas à écrire les différentielles). Tout dépend de l’information que l’on veut véhiculer.

I don’t mind that you think slowly, but I do mind that you are publishing faster. — W. Pauli

+4 -0

Cette réponse a aidé l’auteur du sujet

Après c’est pas la même chose pour des gens qui apprennent les intégrales que pour ceux qui ont on compris comment ça fonctionnait.

Etre un peu laxiste sur les notations quand on apprend c’est un bon moyen d’entretenir un flou artistique qui empêche de comprendre de quoi il s’agit (ou participe a rendre le truc plus complique)

Par exemple les deux expressions

SdS=Sdxdy\iint_S \mathrm dS = \iint_S \mathrm dx \mathrm dy

Ludwig

Ne sont pas exactement équivalente dSdS est indépendant des coordonnées dxdydxdy implique qu’on a choisis un systeme de coordonnée.

Dans l’absolu c’est pas un drame, mais quand on apprend la somme de tous ces petit "truc" peux je pense rendre l’apprentissage plus délicat, plus flou.

Édité par Vael

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Auteur du sujet

Merci pour vos retours !

Plusieurs questions me viennent à l’esprit si on travaille dans R2\mathbb R^2 muni du repère cartésien usuel :

S=SdxdyS = \iint_S \mathrm dx \mathrm dy

  1. À gauche, on a une surface au sens mathématique du terme : un ensemble de points blablabla…
    Pour respecter l’égalité, on a besoin (à droite) de l’expression d’une surface identique.
    J’ai plutôt l’impression que le second membre désigne l’aire d’une surface.

    Je me demande si ce que j’ai écrit est correct mathématiquement, au sens strict.
    En ne connaissant que le second membre, a-t-on toutes les informations nécessaires pour retrouver univoquement SS ?

  2. Le symbole \int désigne une somme continue.
    Si j’écris 2 fois ce symbole dans l’expression d’une surface, alors j’ai décomposé ma surface selon deux paramètres, disons xx et yy.
    Tout point de la surface peut être désigné par un couple (x,y)S(x, y) \in S, ce qui explique la présence de deux \int.

    Peut-on alors dire que dans l’expression ci-dessous, dσ\mathrm d\sigma représente un morceau de surface, et donc σ=S\sigma = S ?

S=SdσS = \int_S \mathrm d\sigma

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Cette réponse a aidé l’auteur du sujet

À gauche, on a une surface au sens mathématique du terme : un ensemble de points blablabla… Pour respecter l’égalité, on a besoin (à droite) de l’expression d’une surface identique. J’ai plutôt l’impression que le second membre désigne l’aire d’une surface.

L’intégrale est effectivement l’aire de la surface, et donc le SS dans ton membre de gauche aussi. Ton problème, c’est que tu as écrit de la même façon deux objets différents. Le SS à gauche est l’aire de la surface, et le SS comme domaine d’intégration est la surface elle même (et évidemment, il n’y a pas bijection entre les deux pour répondre à la question qui suit).

Pour ton point deux, σ\sigma est une variable muette qui balaie le domaine d’intégration. Quand on dit que dσ\mathrm d\sigma est un petit morceau de surface, c’est juste pour faciliter la compréhension parce que c’est une image qui marche bien et qui permet de facilement faire le passage entre les sommes discrètes et les intégrales. Ta surface, elle apparaît à travers l’application σ1\sigma\mapsto 1 qui est celle que tu intègres sur la surface.

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