Mathématiquement, dt/dt = 1 ?

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Salut à tous,

Voici ce qu’on a vu en cours :

Soit t une variable de temps exprimée en secondes ;
I un courant électrique en ampères ;
Q une charge électrique en coulombs, alors :

Idt=dQdtdt=dQI\mathrm dt = \dfrac{\mathrm dQ}{\mathrm dt}\mathrm dt = \mathrm dQ

Cependant, notre professeur a attiré notre attention sur le fait qu’on ne simplifie pas les dt dans ce cas-ci (ou sinon notre prof de math serait fâché)…

Je n’ai pas très bien compris à quoi il faisait allusion ?
Pourquoi ne simplifie-t-on pas les dt au sens "mathématique" ?
Existe-t-il une manière plus rigoureuse (sans erreur mathématique) de justifier que Idt = dQ ?

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Quand tu notes dQdt\frac{dQ}{dt} tu ne divises pas dQdQ par dtdt, tu dérives QQ par rapport à tt. Une façon de le dire avec les mains c’est "de combien je bouge en QQ" (~ dQdQ) quand "je bouge en tt" (~ dtdt)

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Salut,

En fait, il s’agit d’un changement de variable dans une intégrale.

Imagines que tu calcules :

t1t2i(t)dt\int_{t_1}^{t_2} i(t) \mathrm d t

Par définition du courant, on sait que :

dqdt(t)=i(t)\frac{\mathrm d q}{\mathrm d t} (t) = i(t)

Ce qu’on a à gauche n’est qu’une notation de la dérivée. On peut tout aussi bien écrire :

q(t)=i(t)q'(t) = i(t)

En substituant dans notre intégrale du début, cela donne :

t1t2i(t)dt=t1t2q(t)dt\int_{t_1}^{t_2} i(t) \mathrm d t = \int_{t_1}^{t_2} q'(t) \mathrm d t

Faisons maintenant le changement de variable « q(t) = t », on en déduit :

t1t2i(t)dt=q(t1)q(t2)dq\int_{t_1}^{t_2} i(t) \mathrm d t = \int_{q(t_1)}^{q(t_2)} \mathrm d q

Pour mieux comprendre, cela peut valoir le coup de lire cette page : changement de variable en calcul intégral.

Il y a sûrement une explication avec les différentielles, mais je préfère ne pas me lancer dedans.

Édit. : Pour répondre à la question du titre: la dérivée dtdt\frac{\mathrm d t}{\mathrm d t} est la dérivée de la fonction identité, et vaut donc 1. Mais on n’a pas simplifié !

Édité par Aabu

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Auteur du sujet

Merci pour vos réponses, ça éclaire bien mes idées ! ^^

Puis-je alors écrire ce qui suit (avec la meilleure rigueur mathématique possible) ?

Soit f:RR:ttf : \mathbb R \rightarrow \mathbb R : t \rightarrow t

dtdt=ddt(f)=g\dfrac{\mathrm dt}{\mathrm dt} = \dfrac{\mathrm d}{\mathrm dt}(f) = g

telle que :

g:RR:t1g : \mathbb R \rightarrow \mathbb R : t \rightarrow 1

Si oui, ça montre que dtdt\dfrac{\mathrm dt}{\mathrm dt} est une fonction mathématique, et non pas le scalaire 1.

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Tu as raison, en toute rigueur dtdt\frac{\mathrm dt}{\mathrm dt} est une fonction : la fonction dérivée par rapport à la variable tt de la fonction qui a tt associe tt (autrement dit la fonction dérivée de la fonction identité). C’est bien la fonction constante qui à tout tt associe 1.

En toute rigueur toujours, on doit écrire ddtdt(t)\frac{\mathrm dt}{\mathrm dt}(t) pour parler de son image, qui vaut toujours 1.

Maintenant, en physique, on aime bien garder une certaine souplesse dans les notations, pour parler de fonctions différentes avec les mêmes symboles.

Par exemple, la tension aux bornes d’une résistance constante est en toute généralité une fonction du temps u(t)u(t) et le courant i(t)i(t) qui la traverse également. On sait que ces deux choses sont reliées par la loi d’Ohm, de sorte qu’on peut écrire

u(t)=Ri(t)u(t) = R i(t)

Dans cette expression, on voit que le temps n’est pas tellement important dans cette relation et qu’on a en fait quelque chose du type :

u(i)=Riu(i) = R i

Dans les deux expressions, la grandeur uu est inchangée (c’est toujours la tension aux bornes de la résistance), mais la fonction n’est pas vraiment la même : dans le premier cas, il s’agit d’une fonction du temps, et dans le deuxième cas, il s’agit d’une fonction du courant. Si on note utu_t le premier cas et uiu_i le deuxième cas, on remarque que :

ut(t)=ui(i(t))u_t (t) = u_i (i (t))

Reconnaître cette différence devient importante dans les cas de dérivation et d’intégration ou changement de variable, pour comprendre ce qu’on fait exactement.

Par exemple, il est possible, à la physicienne, de dériver u(t)=Ri(t)u(t) = R i(t) par ii (qui est une fonction en toute rigueur. En faisant ça en vérité, on considère en fait l’expression u(i)=Riu(i) = R i, ce qui permet de calculer la dérivée normalement.

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