Changement de variables de cartésiennes à polaires

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Auteur du sujet

Salut à tous,

Je cherche ce que vaut dxdy\mathrm dx \mathrm dy lorsqu’on passe en coordonnées polaires.

Je sais que dxdy=(x,y)(r,θ)drdθ=r drdθ\mathrm dx \mathrm dy = \dfrac{\partial (x, y)}{\partial (r, \theta)} \mathrm dr \mathrm d\theta = r\ \mathrm dr \mathrm d\theta mais je n’arrive pas à retrouver ce résultat en calculant 'intuitivement' :

x=rcosθdx=(rcosθ)rdr + (rcosθ)θdθ=cosθdrrsinθdθx = r \cos \theta \implies \mathrm dx = \dfrac{\partial (r \cos \theta)}{\partial r} \mathrm dr\ +\ \dfrac{\partial (r \cos \theta)}{\partial \theta} \mathrm d\theta = \cos \theta \mathrm dr -r \sin \theta \mathrm d\theta

y=rsinθdy=(rsinθ)rdr + (rsinθ)θdθ=sinθdr+rcosθdθy = r \sin \theta \implies \mathrm dy = \dfrac{\partial (r \sin \theta)}{\partial r} \mathrm dr\ +\ \dfrac{\partial (r \sin \theta)}{\partial \theta} \mathrm d\theta = \sin \theta \mathrm dr + r \cos \theta \mathrm d\theta

Le souci, c’est qu’en cherchant à calculer le produit dxdy\mathrm dx \mathrm dy, j’obtiens :

dxdy=r(cos2θsin2θ)dθdr\mathrm dx \mathrm dy = r (\cos^2 \theta - \sin^2 \theta) \mathrm d\theta \mathrm dr

Où se trouve mon erreur ?

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Auteur du sujet

Je pense que tu as fait une erreur de signe : rsinθsinθdθdr=rsinθsinθdrdθ-r\sin \theta \sin \theta d\theta dr = r\sin \theta \sin \theta dr d\theta (anti-commutativité)

Holosmos

Ah, autant pour moi car j’ignorais complètement cette règle !
Pourquoi ne peut-on pas échanger drdr et dθd\theta sans ajouter le signe moins ?

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Auteur du sujet

Oui, ce que je me demandais c’est plutôt pourquoi le produit de drdr et dθd\theta est anti-commutatif.

Je n’ai jamais vu ce concept au cours (bien qu’on ait par exemple vu le th. de Stokes).

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