Changement de variables de cartésiennes à polaires

Salut à tous,

Je cherche ce que vaut $\mathrm dx \mathrm dy$ lorsqu’on passe en coordonnées polaires.

Je sais que $\mathrm dx \mathrm dy = \dfrac{\partial (x, y)}{\partial (r, \theta)} \mathrm dr \mathrm d\theta = r\ \mathrm dr \mathrm d\theta$ $$ mais je n’arrive pas à retrouver ce résultat en calculant 'intuitivement' :

$x = r \cos \theta \implies \mathrm dx = \dfrac{\partial (r \cos \theta)}{\partial r} \mathrm dr\ +\ \dfrac{\partial (r \cos \theta)}{\partial \theta} \mathrm d\theta = \cos \theta \mathrm dr -r \sin \theta \mathrm d\theta$

$y = r \sin \theta \implies \mathrm dy = \dfrac{\partial (r \sin \theta)}{\partial r} \mathrm dr\ +\ \dfrac{\partial (r \sin \theta)}{\partial \theta} \mathrm d\theta = \sin \theta \mathrm dr + r \cos \theta \mathrm d\theta$

Le souci, c’est qu’en cherchant à calculer le produit $\mathrm dx \mathrm dy$, j’obtiens :

$\mathrm dx \mathrm dy = r (\cos^2 \theta - \sin^2 \theta) \mathrm d\theta \mathrm dr$

Où se trouve mon erreur ?

Ah, autant pour moi car j’ignorais complètement cette règle !
Pourquoi ne peut-on pas échanger $dr$ et $d\theta$ sans ajouter le signe moins ?

Le produit est anti-commutatif. C’est ce qui permet un certain nombre de bonnes propriétés (intégrale de Stokes par exemple).

Oui, ce que je me demandais c’est plutôt pourquoi le produit de $dr$ et $d\theta$ est anti-commutatif.

Je n’ai jamais vu ce concept au cours (bien qu’on ait par exemple vu le th. de Stokes).