[Matlab] Résoudre un système linéaire itératif

OK, merci, maintenant c’est parfaitement clair, et je suis rassuré parce que ça se présente comme ce que je pensais avoir compris à partir de tes messages précédents.

Si j’essaye de réexpliquer le truc en reprenant mes notations, voici comment je vois les choses.

Ton but ultime, c’est de résoudre $M(\mu)\mu=R(\mu)$. Une fois que tu as la solution de cette équation, tu pourras calculer $T(\mu)$ et $\xi(T(\mu))$ et tout ce que tu veux (tu connaîtras donc entièrement ton système).

Tu vas d’abord choisir une valeur initiale devinée pour les flux, appelons-la $\mu^0$ (c’est ton premier mu_old, je répondrais à ta question de savoir si on peut mettre n’importe quoi dedans à la fin de mon message). Avec ça, tu vas pouvoir calculer $T^0(\mu^0)$ et $\xi^0(T^0)$.

Maintenant, pour trouver une solution à ton équation non linéaire $M(\mu)\mu=R(\mu)$, on va définir la suite des $\mu^n$ par l’équation linéaire suivante sur $\mu^{n+1}$ : $M(\mu^n)\mu^{n+1}=R(\mu^n)$ (il est facile de se convaincre que $\mu^n=\mu$ est un point fixe de cette suite, toute la question des méthodes itératives est de savoir si on peut effectivement l’atteindre et en combien de temps).

Le code général va ressembler à ça (tu en as déjà le plus gros) :

• choix de $\mu^0$ ;
• calcul de $T^0$ ;
• on donne à $T^{-1}$ (qui est une variable purement fictive) une valeur bidon pour entrer dans la boucle (e.g. $T^0+1$) ;

• tant que on $|T(\mu^{n+1}) - T(\mu^n)|>0.1$ ;

  • $\mu^n$ prend la valeur de $\mu^{n+1}$ ;
  • $T^n$ prend la valeur de $T^{n+1}$ ;
  • on calcule $\xi^n$ (qui dépend de $\mu^n$ via $T^n$) ;
  • on résout $M^n\mu^{n+1} = R^n$ avec linsolve ;
  • on calcule $T^{n+1}$ pour pouvoir le comparer avec $T^n$ au tour suivant.
• une fois que le calcul à convergé, $\mu^{n+1}$ et $T^{n+1}$ sont (si tu as du bol) la solution que tu cherches.

Pour le choix de $\mu^0$, c’est toute une question de la forme du résidu $\mu-\mu^n$ autour de $\mu$ et $\mu^0$. Si tu as de la chance et qu’il est concave, tu vas converger sans soucis. Sinon, tu risque de te retrouver dans des minimums locaux (et si t’as vraiment pas de bol, de tourner autour de la solution sans y descendre). En pratique, c’est pour ça qu’on se rabat sur des solveurs déjà écrit comme ceux listés en début de sujet. Là, comme c’est pour un cours, tu ne devrais pas avoir ce genre de soucis j’imagine, et ça devrait converger gentiment. Au cas où, si tu vois que ça prend des plombes, tu peux essayer de tracer $\mu^{n+1}$ en fonction de $\mu^n$. Si tu vois des cercles ou des tourbillons, change le $\mu^0$ initial parce que ça veut dire que tu es en train de tourner dans l’espace des phases.