Un zeste de logique

Bonjour,

Ayant terminé mon année de Math Sup, j'ai eu l'occasion d'entendre parler de la rigueur mathématique, des implications, des quantificateurs… Et je me suis rendu compte que connaître la logique de base (par exemple, $(P \Rightarrow Q) \nRightarrow (Q \Rightarrow P)$) permettait de mieux appréhender le monde et d'éluder moult erreurs de raisonnement aux conséquences désagréables.

Du coup, je me suis dit que je pourrais partager mes modestes connaissances à ce propos. Ça permettrait en outre de démystifier un peu les mathématiques. J'envisage de mentionner :

• Notion de vérité, contenu $\neq$ raisonnement, proposition
• Non, et, ou : tables de vérité, exemples, lois et principes (du tiers exclu, de De Morgan…)
• Quantificateurs ($\forall, \exists...$)
• Implication, équivalence
• Conditions nécessaires et suffisantes

Qu'en pensez-vous ?

Merci !

PS : j'ignore si le titre du tutoriel est correct.

Edit : suite à la remarque de katana, le titre est passé de "La logique formelle" à "Un zeste de logique".

L'expression "logique formelle" est à mon avis trop vague et archaïque. Tu n'aborderas en réalité qu'un tout petit bout de la logique. Je te suggère de changer de titre : "introduction à la logique" ne froissera personne, par exemple. Si tu tiens vraiment à utiliser un adjectif, "logique mathématique" me semble mieux choisi.

Je vous présente la Bêta, en espérant que le lien fonctionne. ^^'

N'hésitez pas à me faire part de vos critiques et de vos suggestions.

Faut-il que je consacre un chapitre sur les quantificateurs ?

Coucou,

Bonne idée de tuto

Après une première lecture rapide voilà ce que j'ai noté :

• il faudrait faire la distinction entre "logiquement équivalent" et "équivalent" (double implication) ;
• alléger les notations, écrire en toutes lettres "et", "ou", "non" n'est pas grand chose et rend le texte plus accessible.

Pour les quantificateurs je pense que c'est essentiel pour un tel cours … mais autant qu'un chapitre sur les notions ensemblistes (inclusions, image réciproque, toussa toussa).

Bon courage

Merci pour les remarques et les encouragements. =)

J'ai essayé de corriger ce que tu as soulevé. N'hésitez pas à me le dire si ça ne convient pas.

Je vais m'atteler aux quantificateurs. =)

Image réciproque ? Tu veux que je parle de fonctions ? On n'a pas fait beaucoup de théorie des ensembles, donc si tu veux préciser de quelles notions tu parles, ne te gêne pas ! Evidemment, on a parlé d'image directe, réciproque, de fonction indicatrice, de noyau, d'image, de cardinal… Mais je doute que ça s'intègre à ce tutoriel.

Parler d'injection, surjection et bijection par exemple. Des inclusions, contenances, intersections et unions aussi.

Le cardinal pourquoi pas, c'est un outil basic utilisable pour les notions d'injection, tralala. On peut compter les injections, surjections et bijections (permutations) d'ensembles discrets avec.

Salut,
Je ne vois pas trop la logique de parler de notions ensemblistes dans ce tuto… Les quantificateurs par contre oui, et aussi peut-être les modes de raisonnement qui découlent de ces règles logiques, comme les syllogismes, le modus ponens, le modus tollens, le raisonnement par l'absurde. Ce sont des parties qui me semblent plus logiquement liées à la thématique.

Sur le tuto:

• Je pense que ça manque d'exemples concrets, par exemple sur les lois de De Morgan
• D'une manière générale, je pense qu'il faudrait donner plus d'exemples de la vie courante, mais aussi des exemples tirés des maths. Pour montrer que les maths, "ca sert aussi dans la vraie vie". Tu disais justement que tu voulais démystifier les maths, ça peut être une bonne occasion. Tu dis d'ailleurs au début du tuto qu'on est confronté à la logique tous les jours.

Ce serait bien par exemple de bien mettre en évidence les erreurs logiques. Un exemple qui me vient en tête pour l'erreur "A implique B donc B implique A", c'est la pub du loto "100% des gagnants ont joué". Ils jouent sur cette erreur de logique qui est fréquente et qui va te faire penser (même inconsciemment) que si tu joues, tu vas gagner. Ce serait intéressant d'ailleurs d'aller chercher du coté des techniques de manipulation, ou des médias, discours politiques, comment ils peuvent utiliser la logique détournée.

• A un moment, tu parles de la véracité des prémisses. Tu pourrais du coup à la fin du tuto parler des axiomes, de ce qu'est une démonstration… A la fin, en ouverture, tu peux parler du programme de Hilbert, et des découvertes de Godel (il y a des propositions non démontrables, et des propositions indécidables). Ca permet de montrer que la logique, c'est pas une langue morte, ça permet d'ouvrir d'autres portes.

Ce serait intéressant d'ailleurs d'aller chercher du coté des techniques de manipulation, ou des médias, discours politiques, comment ils peuvent utiliser la logique détournée.

Je ne sais pas si ça aurait sa place dans ce tuto, mais un article sur les notions de corrélations et causalité en statistiques serait bien utile pour voir bon nombre d'études (et les articles de presse qui les abrutissent) d'un autre œil.

Bof : dans le cadre de ce tutoriel, c'est impossible d'aborder ça. Il faudrait poser des fondations plus solides (logique du premier ordre, théories…), et ça n'est pas ce tutoriel qui va les poser.

En revanche, apprendre aux futurs bacheliers comment lire et comprendre une formule mathématique concrète avec des quantificateurs, pourquoi pas.

Si la théorie des ensembles c'est intéressant parce que ça va avec les fondements de la logique actuelle (même si une autre commence à se dégager …). D'ailleurs on retrouve toutes les notions appliquées à des ensembles et c'est un bon moyen de pratiquer.

Et puis comment parler quantificateur sans parler ensemble ? C'est faire exprès d'éviter un sujet important et utile.

Qu'entends-tu par "exemples tirés des Maths" ? Des Maths pures ? Je pourrais par exemple parler de dérivabilité et de continuité dans la partie sur les implications, mais combien de lecteurs connaîtront ces termes ?

Je ne suis pas apte à parler de ça malheureusement.

Aborder les statistiques peut être une bonne idée, mais est-ce qu'elles ne mériteraient pas un tutoriel à elles seules ?

C'est intéressant, en effet.

J'avoue que j'ai du mal à voir comment on pourrait intégrer ça. Aurais-tu des exemples concrets de ce qu'on pourrait mettre dans le tutoriel ?

Merci à vous !

L'ensemble des permutations agissant sur un ensemble fini, les bijections entre ensembles dénombrables, le principe des tiroirs par exemple.

La logique "toute seule" bof, faut un minimum de théorie des ensembles pour faire des maths abordables. Tu vas obligatoirement parler ensembles dans tes exemples, alors pourquoi ne pas dire précisément ce que c'est et ce qu'on fait avec ?

Quelques remarques en vrac :

• Selon les définitions fixées à l'origine, elles peuvent être vraies ou fausses - on leur assigne souvent la valeur de 0 ou 1.

Pour ça, il me semble qu'on utilise ce tiret : —. Oui, c'est une remarque pointilleuse.

• Comme l'ont dit d'autres avant moi, la logique pure et nue, surtout dans le cadre d'une introduction, c'est chiant. Tu peux émailler ton contenu de plus d'exemples (dans les § conjonction puis disjonction, y'en a pas et ça casse le rythme de lecture ; lire une suite de tables de vérité n'est pas agréable).

Tu pourrais notamment, à un moment où un autre, faire résoudre un petit problème de logique avec un énoncé amusant. En Sup' notre prof d'info nous avait donné un exercice comme ça, une histoire d'ambassadeur auprès d'un peuple alien ; en gros, fallait trouver la réponse à une énigme logique en utilisant diverses méthodes (table de vérité, calcul propositionnel). Tu dois sans doute pouvoir adapter ça au niveau de ton tuto, et le placer judicieusement.

• Tu balances les lois de De Morgan et la distributivité double (qui me perturbe encore, j'arrive vraiment pas à m'y faire sans passer par des mots, c'est marrant) sans dire bonjour ni bonsoir. Le lecteur n'a pas la moindre idée de ce à quoi ça peut servir, sa seule réaction peut être : "Ah tiens, oui, ça marche." C'est pas super didactique mais je ne sais pas trop comment tu pourrais l'améliorer sans parler de calcul propositionnel.

D'ailleurs, note que tous tes lecteurs ne connaîtront certainement pas le terme de distributivité, qui est donc à proscrire ou à expliquer (d'autant qu'il est carrément dans un titre).

• L'effort que tu fais pour distinguer véracité et cohérence est judicieux et louable.

Voilà, ne prends pas mal mon style un peu direct, l'heure tardive ne se prête pas à la périphrase. Tu peux rédiger un tutoriel intéressant avec ce que tu as appris cette année, bon courage (pour la rédaction et pour la rentrée qui approche à grands pas…) !

Edit : le tiret dont je parle plus haut, c'est ---.

Merci pour ces remarques. =)

J'ai effectivement beaucoup de mal à dénicher des exemples corrects. Probablement parce que je n'en ai eu que des mathématiques. Auriez-vous des exemples d'exemples que je pourrais intégrer ? Parce que je me doute que mes "négation de 'Il neige' est 'Il ne neige pas'" ou "conjonction de 'J'ai faim' et 'J'ai froid' est 'J'ai faim et froid'" ne conviennent pas. ^^'

En ce qui concerne la distributivité, je veux bien expliquer le principe, mais c'est exactement ce qu'on a là — quelques recherches sur Internet me donnent toutes que la distributivité c'est : k(a+b) = ka + kb. Si je le proscris, que pourrais-je bien écrire à la place ?

Dans un premier temps, je pense que je vais me concentrer sur le contenu : ce qu'il faut ou ne faut pas mettre. Puis j'essayerai de rendre ça plus attrayant, avec des exemples.

Au fait, j'ai mis à jour la bêta — voir la fin du premier message.

Merci !

Ça a bien avancé

Je suis étonné que tu gardes les symboles à la place des mots "ou", "et", "non". C'est vrai que tu écris les mots plus souvent, mais je pense que même dans les phrases mathématiques mettre ces mots sera plus clair pour un débutant que ce symbole. À la fin, pourquoi pas, mais dès le début ?

Aussi j'ai une suggestion : les relations d'équivalence et d'ordre, ce sont deux notions très classiques.

Pour l'implication "$A$ implique $B$", une proposition équivalente (et bien pratique pour la compréhension) est "non $A$ ou $B$". Cela explique bien que cette proposition est vraie même si $A$ est fausse.

Un passage sur la contraposée serait pas mal non plus, je crois pas l'avoir vu

Pour la nuance entre équivalence et logiquement équivalent, je dirais plutôt que la première est une proposition, et la seconde une relation propositionnelle.

Aurais-tu un exemple de là où je devrais écrire en toutes lettres au lieu d'utiliser les symboles ?

Effectivement, je peux aborder les relations binaires. Par contre, je risque d'avoir du mal à rattacher ça à des exemples concrets - hormis des trucs du genre : la relation de congruence est une relation d'équivalence.

Je parle de cette équivalence et de la contraposée dans la partie sur l'implication. Après, peut-être vaudrait-il mieux définir l'implication comme "non P ou Q" ? Disons que le lien avec "si… alors…" est moins direct.

Effectivement, je vais corriger la nuance.

Merci !

Dans le tableau par exemple, tu n'y perds qu'un caractère et c'est plus facile à lire

L'inclusion est une relation binaire

Enfin, les abréviations CN et CS sont assez bofs … l'écrire en toutes lettres encore une fois fait moins élitiste et est favorable à une lecture plus tranquille.

J'ai modifié ça. Pour les tableaux, qu'en pensez-vous ? Préférez-vous les symboles ou les mots ?

Effectivement, l'inclusion est une relation binaire, mais ce que je veux dire, c'est que je ne parviendrai probablement pas à trouver des exemples de la vie courante. Et je ne suis pas certain que les lecteurs apprécient les notions utiles qu'aux Maths - il a fallu attendre Math Sup pour voir les relations binaires…

En outre, l'implication peut être fausse tout en ayant des membres vrais. Par exemple, ("Je suis petit" implique "Il y a de la neige en Antartique") est faux

Pourtant la table de vérité dit que c'est vrai… c'est un truc qui m'a toujours paru bizarre dans la notion d'implication.

Pour ce qui est de l'implication : "$A$ implique $B$", souvenez vous de ce que j'ai dit : c'est logiquement équivalent à "$B$ ou non $A$".

Si je ne suis pas petit, alors "non petit" est vrai est donc l'implication est logiquement vraie.

Ce que veut dire Looping, et je suis d'accord, c'est que : "Je suis petit" est vrai, "Il y a de la neige en Antartique" aussi, donc d'après la table de vérité, "Je suis petit" implique "Il y a de la neige en Antartique" est vrai. Pourtant, il n'y a pas de raison que ma taille ait des conséquences sur le climat du pôle.

Et avec ce raisonnement, deux propositions quelconques vraies s'impliquent. Ainsi, si on en croit la table de vérité : comme la fonction exponentielle est continue et dérivable sur $\mathbb R$, "$\exp$ continue sur $\mathbb R$" implique "$\exp$ dérivable sur $\mathbb R$"…