Moment d'inertie (sphère creuse)

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Coucou les physiciens,

Dans le calcul du moment d’inertie d’une sphère creuse, il y a deux-trois étape qui me chagrines. La sphère creuse possède pour densité surfacique σ\sigma. On considère un point MM quelconque, et HH le point MM projeté sur l’axe Δ\Delta, dS=dxdy\mathrm dS = \mathrm dx\mathrm dy. J’obtiens facilement :

(eq. 1)IΔ=SσHM2dS=σSR2sin2(θ)dS\text{(eq. 1)}\;\;\;\;\;\; I_\Delta = \iint_S \sigma HM^2 \mathrm dS = \sigma \iint_S R^2\sin^2(\theta) \mathrm dS

L’enseignant nous a précisez que l’on pouvait utiliser la symétrie suivante :

(eq. 2)3IΔ=IΔ(x)+IΔ(y)+IΔ(z)\text{(eq. 2)}\;\;\;\;\;\;3 I_\Delta = I_\Delta(x) + I_\Delta(y) + I_\Delta(z)
(eq. 3)3IΔ=σ[S(y2+z2)dSIΔ(x)+S(x2+z2)dSIΔ(y)+S(x2+y2)dSIΔ(z)]\text{(eq. 3)}\;\;\;\;\;\;3 I_\Delta = \sigma \left[ \underbrace{\iint_S (y^2+z^2) \mathrm dS}_{I_\Delta(x)} + \underbrace{\iint_S (x^2+z^2) \mathrm dS}_{I_\Delta(y)} + \underbrace{\iint_S (x^2+y^2) \mathrm dS}_{I_\Delta(z)} \right]

L’expression finit alors :

(eq. 4)3IΔ=2σS(x2+y2+z2)dS\text{(eq. 4)}\;\;\;\;\;\;3 I_\Delta = 2 \sigma \iint_S (x^2+y^2+z^2) \mathrm dS
Je ne comprend pas bien :
  • pourquoi utiliser (eq. 2)\text{(eq. 2)} plutot que (eq. 1)\text{(eq. 1)} sobrement finalement ?
  • comment on passe de (eq. 2)\text{(eq. 2)} à (eq. 3)\text{(eq. 3)}.
  • comment on passe de (eq. 3)\text{(eq. 3)} à (eq. 4)\text{(eq. 4)}.

Merci d’avance à vous :)

Édité par Blackline

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Salut,

L’équation 1 marche pas trop mal dans ce cas, mais l’équation 2 rend le calcul légèrement plus simple.

Je comprends pas trop les deux autres questions, pour passer de 2 à 3 on remplace juste par les expressions qui sont triviales dans ce cas (c’est juste des distances dans les trois directions exprimées en cartésiennes), et pour passer de 3 à 4 on regroupe les différents termes.

I don’t mind that you think slowly, but I do mind that you are publishing faster. — W. Pauli

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pour passer de 2 à 3 on remplace juste par les expressions qui sont triviales dans ce cas (c’est juste des distances dans les trois directions exprimées en cartésiennes)

Ok donc j’ai galéré ( :D ) parce que c’est noté comme ça, mais que c’est :

HM=x2+y2HM = \sqrt{x^2 + y^2}
HM2=x2+y2HM^2 = x^2 + y^2

Un truc dans le genre ? >_<

pour passer de 3 à 4 on regroupe les différents termes.

Là j’vois toujours pas… faut prendre en compte qu’en plus de pas avoir un bon passé avec les maths, j’ai jamais les yeux en face des trous… (ça me rend fou aussi :-° )

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C’est ça pour les distances.

Pour le regroupement, ce qui te manque je pense est que ΩfdΩ+ΩgdΩ=Ω(f+g)dΩ\int_\Omega f\mathrm d\Omega+\int_\Omega g\mathrm d\Omega = \int_\Omega (f+g)\mathrm d\Omega Ça marche parce que intégrer est une application linéaire.

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Juste pour éclaircire deux-trois points :

équation 1 : Attention, ici le θ\theta est l’angle entre Δ\Delta et R\vec R. Du coup HM2HM^2 (qui en effet est une très très sale notation pas très lisible, u ntruc du genre HM2|\vec{HM}|^2 est moins ambiguë) vaut x2+y2x^2+y^2 que dans le cas particulier Δ=Oz\Delta = Oz.

En l’état le problème c’est que tu dois exprimer ton θ\theta en fonction des deux angles sphériques θ\theta (le "vrai") et ϕ\phi. Et donc c’est chiant à faire.

En pratique il n’y a pas besoin car la sphère étant symétrique le moment d’inertie pour n’importe quel Δ\Delta est le même. Tu peux donc prendre Δ=Oz\Delta=Oz.

Mais tu vas avoir un terme en sin(θ)3\sin(\theta)^3 à intégrer… c’est pas dur mais un peu chiant… Donc généralement on utilise pas cette manière de faire mais une manière différente :

On constate que Ix+Iy+IzI_x + I_y + I_z c’est hyper facile à intégrer ( ie ton équation 4). Et grâce à la symétrie sphérique on sait que ça vaut 3IΔ3I_{\Delta}. Puis la fin est évidente.

Mais il faut noter que le passage par eq1 n’est pas nécessaire avec la solution de ton corrigé.

Funfact : on déduit facilement en comparant eq1 et eq4 que 0πsin3θdθ=43\int_{0}^{\pi} sin^3 \theta d\theta = \frac 4 3

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Auteur du sujet

Je me disais bien que HM2HM^2 ce n’était pas la meilleure notation. Merci @Vael.

Une autre question, au sein d’une sphère le rayon peut se noter x2+y2+z2x^2+y^2+z^2 ? Parce que j’ai cette égalité qui me fait bizarre :

S(x2+y2+z2)dxdz=R2Sdxdz\iint_S (x^2+y^2+z^2)dxdz = R^2 \iint_S dxdz

Je ne comprend pas bien comment on a intégré/extirpé le terme de trois variables. J’dois vraiment passer pour une quiche, mais j’vous jure j’suis meilleur en chimie :’)

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