surjectivité injectivité d'une fonction

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Auteur du sujet

Salut,
Je suis à chaque fois pris au dépourvu pour trouver la surjectivité/injectivité d’une fonction, en cours on voit la définition, je pense l’avoir compris et assimilé, et ensuite on a les exos, ou je suis perdu.

Par exemple pour la fonction suivante:
f{xxR,0<x<1}Rf \left\{ x | x \in \mathbb R, 0 < x < 1 \right\} \mapsto \mathbb R

Si 0 < x < 12\frac{1}{2} x21xx \mapsto 2-\frac{1}{x} Si 12\frac{1}{2} < x < 1 x11x2x \mapsto \frac{1}{1-x}-2

Comment aborder le problème et trouver l’injectivité / surjectivité de la fonction. La question c’est, avez-vous une méthode générale pour certain type de fonction, ou une démarche pour pas que je bloque. Si vous avez des astuces à partager, je suis preneur

Durant l’exa pour une question simple comme ça je suis sensé avoir ~5minutes

PS:désoler de la mise en page un peu pourri j’ai essayer de faire une mise en page correcte avec une grande accolade et les deux cas de la fonction, mais j’ai pas réussi ^^_

conseil: le thé est meilleur avec un zeste de citron

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Surjectivité c’est facile, il suffit de montrer que chaque élement de R a un antécédent.

Injectivité, supposons f(a) = f(b), montrer que a = b : cela peut etre en montrant qu’elle est strictement (dé)croissante, ici je pense que tu peux montrer que sur [0;1/2] elle est strictement croissante et aussi sur [1/2; 1].

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Dans tous les cas, la première étape c’est de faire un schéma grossier de la fonction. Est-ce que tu arrives à tracer une représentation graphique de ff sur ton papier ?

À partir de là tu devrais pouvoir conjecturer s’il faut montrer qu’elle injective ou non injective (idem pour la surjectivité).

Auteur du sujet

Dans tous les cas, la première étape c’est de faire un schéma grossier de la fonction. Est-ce que tu arrives à tracer une représentation graphique de ff sur ton papier ?

À partir de là tu devrais pouvoir conjecturer s’il faut montrer qu’elle injective ou non injective (idem pour la surjectivité).

Lucas-84

Oui, d’habitude je commence par ça, ça m’a un peu déstabiliser car il y a deux cas ici (selon la valeur de x), donc j’ai pas commencer par ça, j’aurais du. Mais après avec le graph, tu cherches la réponse ou plutot à éliminer des réponses impossible (genre pas faire des preuves inutiles) ?

Dans la corection du prof, ce qui est fait c’est :
f(x1)=f(x2)f(x_1) = f(x_2) avec x1x_1 venant de l’interval [0 ;12\frac{1}{2}[ et x2x_2 venant du deuxième interval on arrive a un contradiction ce qui signifie qu’il y a pas de x1x_1x2x_2 tel que f(x1)=f(x2)f(x_1) = f(x_2)

Les cas où x1x_1 x2x_2 sont dans le même interval sont triviaux mais j’ai pas le temps de faire ces preuves en 5 minutes pour injectivité surjectivité avec 3 intervals de valeur pour x. Je veux vraiment gagner du temps pour l’utiliser sur des problèmes où j’ai de la peine et pas le perdre bêtement à faire des preuves.

C’est pour ça que je voulais savoir vos techniques pour aller plus vite. Faire un graph et éliminer des preuves c’est une très bonne idée !

Injectivité, supposons f(a) = f(b), montrer que a = b : cela peut être en montrant qu’elle est strictement (dé)croissante, ici je pense que tu peux montrer que sur [0;1/2] elle est strictement croissante et aussi sur [1/2; 1].

ez613

Mais justement, avec ces fonctions qui ont des intervals, elles peuvent faire un yy avec deux x différents. genre f(x)
avec 0<x1<2f(x1)x10 < x_1 < 2\; f(x_1) \mapsto x_1
avec 2x2<3f(x2)x2322 \leqslant x_2 < 3\; f(x_2) \mapsto x_2-\frac{3}{2}

c’est deux fonction sont strictement croissantes pourtant avec x1x_1 valant 1/2 et x2x_2 valant 2 tu arrives dans les deux cas à 1/2

conseil: le thé est meilleur avec un zeste de citron

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Cette réponse a aidé l’auteur du sujet

Salut,

L’allure de la fonction te permet de choisir la propriété à démontrer. Dans un sens, cela te permet d’éviter des preuves « inutiles », parce que tu ne te fatigueras pas à essayer de démontrer l’inverse de ce qui est attendu.

Par exemple, si tu vois sur le graphe qu’il y a deux antécédents différents dont les images sont identiques, tu tiens un contre-exemple démontrant que la fonction n’est pas injective (pense par exemple à la fonction carré sur l’ensemble des réels).

Autre exemple, si tu vois qu’il manque un morceau de l’ensemble d’arrivée, tu tiens un contre-exemple pour montrer que la fonction n’est pas surjective. C’est par exemple le cas de la fonction carrée, si on considère l’ensemble des réels comme ensemble d’arrivée.

Tracer le graphe en soit peut être rapide. C’est assez facile de l’obtenir en étudiant la fonction à l’arrache : valeurs ou limites aux bornes de l’intervalle de définition, estimation d’un point au milieu pour mieux voir et basta. Pour l’exercice que tu donnes, tu obtiens tout ce qu’il faut en calculant deux limites et trois valeurs faciles, ce qui prend une minute.

En faisant ça sur ton exemple, on se dit qu’on va démontrer la surjectivité et l’injectivité. Une fois que tu sais ça, il y a pleiiiiin de possibilités plus ou moins rapides. Il y a des théorèmes, il y a des définitions, il y a des manières un peu tordues, d’autres plus directes…

Pour réussir rapidement, tu auras besoin d’entraînement varié, afin de bien voir comment utiliser tes définitions et théorèmes et comment ils peuvent s’agencer entre eux. En prime, tu peux avoir plus de facilité si tu connais tes techniques de démonstration classiques (par implication, par équivalence, par contraposée, par l’absurde, par disjonction de cas, analyse-synthèse, etc).

Édité par Aabu

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Auteur du sujet

J’ai refais pleins d’exercices et ça va mieux, le graph est vraiment utile, après c’est du tâton avec les valeurs limites, mais je vais déjà beaucoup plus vite
merci à tous pour vos conseils ^^

conseil: le thé est meilleur avec un zeste de citron

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