surjectivité injectivité d'une fonction

Salut,
Je suis à chaque fois pris au dépourvu pour trouver la surjectivité/injectivité d’une fonction, en cours on voit la définition, je pense l’avoir compris et assimilé, et ensuite on a les exos, ou je suis perdu.

Par exemple pour la fonction suivante:
$f \left\{ x | x \in \mathbb R, 0 < x < 1 \right\} \mapsto \mathbb R$

Si 0 < x < $\frac{1}{2}$ $x \mapsto 2-\frac{1}{x}$ Si $\frac{1}{2}$ < x < 1 $x \mapsto \frac{1}{1-x}-2$

Comment aborder le problème et trouver l’injectivité / surjectivité de la fonction. La question c’est, avez-vous une méthode générale pour certain type de fonction, ou une démarche pour pas que je bloque. Si vous avez des astuces à partager, je suis preneur

Durant l’exa pour une question simple comme ça je suis sensé avoir ~5minutes

PS:désoler de la mise en page un peu pourri j’ai essayer de faire une mise en page correcte avec une grande accolade et les deux cas de la fonction, mais j’ai pas réussi ^^_

Surjectivité c’est facile, il suffit de montrer que chaque élement de R a un antécédent.

Injectivité, supposons f(a) = f(b), montrer que a = b : cela peut etre en montrant qu’elle est strictement (dé)croissante, ici je pense que tu peux montrer que sur [0;1/2] elle est strictement croissante et aussi sur [1/2; 1].

Dans tous les cas, la première étape c’est de faire un schéma grossier de la fonction. Est-ce que tu arrives à tracer une représentation graphique de $f$ sur ton papier ?

À partir de là tu devrais pouvoir conjecturer s’il faut montrer qu’elle injective ou non injective (idem pour la surjectivité).

Oui, d’habitude je commence par ça, ça m’a un peu déstabiliser car il y a deux cas ici (selon la valeur de x), donc j’ai pas commencer par ça, j’aurais du. Mais après avec le graph, tu cherches la réponse ou plutot à éliminer des réponses impossible (genre pas faire des preuves inutiles) ?

Dans la corection du prof, ce qui est fait c’est :
$f(x_1) = f(x_2)$ avec $x_1$ venant de l’interval [0 ;$\frac{1}{2}$[ et $x_2$ venant du deuxième interval on arrive a un contradiction ce qui signifie qu’il y a pas de $x_1$ ≠ $x_2$ tel que $f(x_1) = f(x_2)$

Les cas où $x_1$ $x_2$ sont dans le même interval sont triviaux mais j’ai pas le temps de faire ces preuves en 5 minutes pour injectivité surjectivité avec 3 intervals de valeur pour x. Je veux vraiment gagner du temps pour l’utiliser sur des problèmes où j’ai de la peine et pas le perdre bêtement à faire des preuves.

C’est pour ça que je voulais savoir vos techniques pour aller plus vite. Faire un graph et éliminer des preuves c’est une très bonne idée !

Mais justement, avec ces fonctions qui ont des intervals, elles peuvent faire un $y$ avec deux x différents. genre f(x)
avec $0 < x_1 < 2\; f(x_1) \mapsto x_1$
avec $2 \leqslant x_2 < 3\; f(x_2) \mapsto x_2-\frac{3}{2}$

c’est deux fonction sont strictement croissantes pourtant avec $x_1$ valant 1/2 et $x_2$ valant 2 tu arrives dans les deux cas à 1/2

J’ai refais pleins d’exercices et ça va mieux, le graph est vraiment utile, après c’est du tâton avec les valeurs limites, mais je vais déjà beaucoup plus vite
merci à tous pour vos conseils