Modulation et dilation d'une fonction dans une transformée de Laplace

Bonsoir,

Une façon de voir les choses est de découper le tout, tu vas étudier: $e_\gamma\cdot \left(f\circ s_{\lambda^{-1}}\right)$. Avec $s_\lambda:t\mapsto \lambda t$ et $e_\lambda:t\mapsto e^{\lambda t}$.

Les relations de ton cour sont donc : $\mathcal{L}\left[e_\lambda\cdot f\right] = \mathcal{L}\left[f\right]\circ\tau_{-\lambda}$ où $\tau_\lambda:t\mapsto t+\lambda$; et $\mathcal{L}\left[f\circ s_\lambda\right] = s_{\lambda^{-1}}\circ\mathcal{L}\left[f\right]\circ s_{\lambda^{-1}}$.

Finalement tu cherches : $\mathcal{L}\left[e_\gamma\cdot\left(f\circ s_{\lambda^{-1}}\right)\right] = \mathcal{L}\left[f\circ s_{\lambda^{-1}}\right]\circ\tau_{-\gamma} = s_{\lambda}\circ\mathcal{L}\left[f\right]\circ s_{\lambda}\circ\tau_{-\gamma}$. Je te laisse le soin de conclure.