Pythagore à n vecteurs

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Auteur du sujet

Bonjour,

Je me suis intéressé à quelques propriétés sur le théorème de Pythagore - version vecteurs - que j'essaie d'étendre à n vecteurs pour voir si on trouve des propriétés intéressantes. Seulement voilà, je bloque affreusement et n'ai rien trouvé sur la toile qui approche les propriétés qui m'intéressent ; je m'en remet donc à vos avis.

Ce qu'on peut montrer (il suffit de développer)

X et Y deux vecteurs dans un espace de dimension 2, muni d'un produit scalaire <.|.> et notant |.| la norme,

$|X+Y|^2 = |X|^2 + |Y|^2 \Leftrightarrow \langle X|Y \rangle = 0$ (Th. de Pythagore)

$|X+Y|^2 = 2(|X|^2 + |Y|^2) \Leftrightarrow X = Y $

Est t'il alors vrai que ?

Pour n vecteurs dans un espace de dimension n,

$|X_1+X_2+...|^2 = n*(|X_1|^2 + |X_2|^2 + ...) \Leftrightarrow X_1 = X_2 = ... $

$|X_1+X_2+...|^2 = |X_1|^2 + |X_2|^2 + ... \Leftrightarrow X_1 \bot X_2 \bot ... $

Ces deux équivalences marchent pour les implications dans le "sens retour" mais je n'arrive pas à les démontrer dans l'autre sens (j'ai juste commencé avec le cas n=3) ou à trouver un contre-exemple. En fait c'est surtout de trouver une implication de gauche vers la droite qui m'intéresse, qui engloberait respectivement l'égalité et l'orthogonalité des vecteurs.

Donc si jamais vous reconnaissez une propriété connue ou entrevoyez un début d'idée (ou de contre-exemple), je suis preneur :)

Merci d'avance

Édité par Coyote

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hum il semble que tu manques d'une info essentiel: La norme euclidienne est $| \vec x| = \sqrt{\vec u.\vec u} $ ou $.$ est le produit scalaire.

Du coup ton: $|X+Y|^2 = \sqrt{(X+Y).(X+Y)}^2 = X.X + Y.Y + 2 \times X.Y $ Donc logiquement si X et Y sont orthogonal on retrouve Pythagore

En utilisant le même développement tu peux déterminer la norme d'une somme de n vecteurs.

Tu trouveras que ta première expression $|X1+X2+...|2=n*(|X1|^2+|X2|^2+...)⇔X1=X2=... $ est totalement fausse :p D'ailleurs je me demande comment tu as trouvé ça … ?

Édité par Vael

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Auteur du sujet

Je connais déjà ces propriétés des espaces préhilbertiens, je crois que je me suis mal exprimé… ^^

Tu trouveras que ta première expression $|X1+X2+...|^2=n*(|X1|^2+|X2|^2+...)⇔X1=X2=... $ est totalement fausse :p D'ailleurs je me demande comment tu as trouvé ça … ?

Vael

En fait j'essaie de trouver une équivalence, en remarquant que pour le cas n=2, on avait égalité des vecteurs sur la seconde expression, j'ai essayé de voir si cette équivalence se maintenait pour n vecteurs. Il se trouve qu'en prenant les vecteurs tous égaux, l'égalité est vérifiée, cependant établir l'égalité dans l'autre sens me semble douteux, mais plausible (et je n'ai pas trouvé de contre-exemple). C'est pourquoi, dans le cas contraire, je cherche la bonne équivalence qui englobe la simple égalité des vecteurs.

Et pour la seconde expression de Pythagore généralisé, j'ai énormément de doute quant à trouver une famille orthonormée.

Édité par Desare

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Auteur du sujet

Bon, réduisons le problème…

On veut établir l'équivalence $|X_1+X_2+...|^2=n*(|X_1|^2+|X_2|^2+...)⇔X_1=X_2=... $. On part du cas n=3 pour essayer de voir apparaitre des propriétés.

  • Il est d'abord clair que si $X_1 = X_2 = X_3 $ alors,

$|X_1+X_2+X_3|^2=|3X_1|^2=9|X_1|^2$

et $3*(|X_1|^2+|X_2|^2+|X_3|^2) = 3*(3*|X_1|^2) = 9|X_1|^2$

D'où $X_1 = X_2 = X_3 \Rightarrow |X_1+X_2+X_3|^2 = 3*(|X_1|^2+|X_2|^2+|X_3|^2)$

  • Quant au sens inverse de l'implication,

$|X_1+X_2+X_3|^2 = 3*(|X_1|^2+|X_2|^2+|X_3|^2)$

$\Leftrightarrow |X_1|^2+|X_2|^2+|X_3|^2 = \langle X|Y \rangle + \langle Y|Z \rangle + \langle Z|X \rangle $

et on ne peut pas en tirer beaucoup de chose de plus…

Si on suppose que les trois vecteurs sont colinéaires à un vecteur X, ie $X_1 = aX$, $X_2 = bX$ et $X_3 = cX$, (avec a,b,c 3 scalaires, et X un vecteur non nul), alors on réduit l'égalité à :

$(a+b+c)^2 = 3*(a^2 + b^2 + c^2)$

$\Leftrightarrow a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca$

Et, ne disposant pas d'un grapher assez puissant, quand on approche cette égalité par l'équation $\Leftrightarrow x^2 + y^2 + z^2 = xy + yz + 1.01*zx$, on trouve un ensemble qui tend vers une droite d'équation $x=y=z$.

Donc si les vecteurs sont colinéaires, alors ils sont égaux.

D'où mon questionnement, peut on établir l'implication dans le sens inverse ? Sinon, quel est l'ensemble solution qui englobe l'égalité des vecteurs ?

Je ne pourrais même pas dire de quelle dimension l'ensemble solution est, quelqu'un sait comment procéder ? (comme ça si on trouve une dimension une, le problème sera réglé ^^)

Édité par Desare

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ok j'avais mal compris.

Donc ces relations ne sont pas vérifié car elles conduisent à chaque fois à une équation pour plusieurs degré de libertés qui sont :
${\displaystyle \sum_{i \neq j} X_i.X_j=0 }$ (Pythagore)
et
${\displaystyle \sum_{i} X_i^2=\sum_{i > j} X_i.X_j }$ (l'autre relation)

Un petit HS on peut remarquer que: $(a+b)^2 + (a-b)^2 = 2*(a^2 + b^2)$
$(a+b+c)^2 + (a-b+c)^2 + (a+b-c)^2 + (a-b-c)^2 = 4*(a^2 + b^2 +c^2)$
etc.
$(X_1 + X_2+ ... +X_n)^2 +... + (X_1 - X_2- ... - X_n)^2 = 2^{n-1} \sum_{i=0}^n X^2_i $
(Je ne sais pas comment ça ce démontre pour un n quelconque, les démonstrations c'est pas mon truc :p) $2^{n-1}$ est le nombre de terme à gauche de l’égalité. En fait c'est toute les possibilités de sommer les $X_n$ de tel manière à ce que leur carré soit différent a chaque fois (pour un cas quelconque). Et : $(X_1 + X_2+ ... +X_n)^2 = 2^{n-1} \sum_{i=0}^n X^2_i $
n'est jamais vérifier pour n>2 (sauf pour des vecteur nul bien sur) en effet on trouve toujours un systeme d'équation AX=0. Pour n=2 c'est bien sur la relation que tu as mis dans ton premier message

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Auteur du sujet

Et bien je ne suis pas vraiment convaincu de leur grande liberté, j'ai beau tourner l'expression $|X_1|^2+|X_2|^2+|X_3|^2 = \langle X|Y \rangle + \langle Y|Z \rangle + \langle Z|X \rangle$ dans tous les sens et faire toutes les hypothèses possibles pour trouver un contre-exemple (avec trois puis deux vecteurs colinéaires, avec les trois vecteurs distants d'un même angle, etc.) je ne trouve de solution que lorsqu'il y a égalité des trois vecteurs (donc une droite-solution). Alors, pour une égalité si symétrique, ça m'étonne de ne pas trouver - s'il y en a une - une autre solution évidente… ><

Marrant ta relation HS sinon ^^

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Cette réponse a aidé l'auteur du sujet

Utilise les formules pour trouver un cas particulier qui marche pas. ${\displaystyle \sum_{i \neq j} X_i.X_j=0 }$

Si je prend trois vecteur $a_i$ de coordonnée $(x_i,y_i)$ j'ai :
${a_1.a_2 + a_2.a_3 + a_3.a_1= x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1 + y_1y_2 + y_2y_3 + y_3y_1 = 0}$

D'ou :

$ x_1 = -\frac{ x_2x_3 + y_1y_2 + y_2y_3 + y_3y_1}{x_2 + x_3}$
Donc on peut remplacer $x_2, x_3, y_1, y_2, y_3$ par les valeurs que l'on veut (bon bien sur $ x_2 \neq -x_3$ ) et on obtiendra le $x_1$ tel que la somme des produits scalaire s'annule. On voit bien qu'on peut prendre $a_2$ et $a_3$ pas orthogonaux !

En fait lors ce que tu fais des calculs sur $n$ vecteurs de dimension $m$ tu as $n*m$ dégrées de libertés. Donc si tu n'as qu'une équation (donc une contrainte au moins, après ça peut être piégeux elle peut en cacher plusieurs !) il ne faut pas s'attendre à trouver une relation avec plus de uns seul contrainte.

Justement si on regarde l'autre relation que tu donne c'est une équations qui comprend le même nombre de contrainte que la dimension des vecteurs puisqu'elle peut se re-ecrire comme $|X-Y|^2 = 0$ (c'est le cas piégeux ^^)

La formule généralisé que tu proposes fonctionne puisque on peut montrer que (si je me suis pas planté): $|X_1+X_2+...|^2 = n*(|X_1|^2 + |X_2|^2 + ...) \Rightarrow {\displaystyle \sum_{\substack{i=1\\ j>i}}^n (X_i-X_j)^2} = 0$ (ce qui conduit directement à la conclusion que tous les vecteurs son égaux)

En faisant comme suit:

$|X_1+X_2+...|^2 = n*(|X_1|^2 + |X_2|^2 + ...)$
$(n-1){\displaystyle \sum_{i=1}^n X_i} - 2*{\displaystyle \sum_{\substack{i=1\\ j>i}}^n X_i.X_j} = 0 $ là si on a l’œil du renard on le remarque direct, mais comme généralement on a pas l’œil du renard … faut continuer à developper xD
$(n-1) X_1^2 - 2{\displaystyle \sum_{j \neq 1}^n X_1.X_j + \sum_{i > 1}^n X_i^2} + (n-2){\displaystyle \sum_{i=2}^n X_i^2} - 2{\displaystyle \sum_{\substack{i=1\\ j>i}}^n X_i.X_j} = 0$
${\displaystyle \sum_{j>1}^n (X_1-X_j)^2} + (n-2){\displaystyle \sum_{i=2}^n X_i^2} - 2{\displaystyle \sum_{\substack{i=2\\ j>i}}^n X_i.X_j} = 0$
Et par récurrence :
${\displaystyle \sum_{\substack{i=1\\ j>i}}^n (X_i-X_j)^2} = 0$

Edit: (J'ai un soucis d'affichage des formules de maths donc peut être qu'il y a quelques fautes de syntaxe rendant les calculs illisible. Désolé, si il y en a je résous ça dès que je peux )
Normalement c'est bon !

Édité par Vael

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Auteur du sujet

Bien joué ! (si tu cherches les coquilles, il y a des carrés qui ont sautés et un dollar en trop vers la moitié du texte)

Effectivement ça marche du coup, merci ! Il faut que j'améliore mon œil de taupe…

Édité par Desare

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