analyse nombre de solution à une équation

L’auteur de ce sujet a trouvé une solution à son problème.
Auteur du sujet

salut,
je révisais et je suis tombé sur cette question :
l’équation  x(exex)ex=0\ x(e^x -e^{-x}) -e^x = 0

  • n’a pas de solution dans l’intervalle [0, ++∞[
  • possède exactement une solution réelle
  • n’a pas de solution dans l’intervalle ]-∞, 0[
  • possède au moins deux solutions réelles

J’ai commencé en me disant une solution existe pour un polynôme de degré 1, au plus deux solutions pour un polynômes de degré deux etc, mais on peut jamais certifier qu’il existera n solution pour un polynôme de degré > n j’ai donc abandonné cette piste

j’ai essayé de le factoriser, de voir si x=0x=0 était solution, mais je ne trouve pas grand chose qui me permet d’affirmer de manière sûre que la dernière proposition est la bonne.

Comment il faut que je m’y prenne ?

Merci d’avance, bonnes fêtes et bonne année

conseil: le thé est meilleur avec un zeste de citron

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On parle de polynôme dans un a une formule avec des x, des x² … des x à la puissance (ce que tu veux). Mais ici, x est l’exposant. Donc le mot polynôme n’est pas approprié ici.

J’imagine que tu connais la notion de dérivée. Ca me paraît la bonne piste.

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Bonsoir,

Si tu connais les fonctions hyperboliques, tu peux réécrire ton équation x=x=\cdots\cdots est s’écrit avec une fonction hyperbolique (une cotangente). Tu peux conclure avec le graphe (où verbalement en énonçant les propriétés de la cotangente).

PS: Ce n’est pas juste une cotangente, je te laisse chercher la forme exacte.

Édité par Freedom

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Auteur du sujet

En effet polynôme n’est pas le terme correcte.
Je connais la dérivée, mais ici ça ne semble pas m’avancer.

  1. xexxexexxe^x - xe^{-x} -e^x
  2. xex+xexexxe^x + xe^{-x} -e^{-x}
  3. xex+exxex+2exxe^x + e^x−xe^{−x} + 2e^{−x}

dans ma tête la dérivée permet juste d’étudier la vitesse de changement de la courbe, trouver un maximum, etc mais pas de trouver des solutions, comment utiliserais-tu la dérivée pour trouver le nombre de solution. même en comptant le nombre de points d’inflexion de la fonction, ça ne garantirait pas qu’il y a une solution entre les deux points d’inflexions (par exemple sinus penché de π/4\pi/4 rad ). L’inverse serait vrai, n solutions implique que la fonction est sois constante soit à un n-1 point d’inflexion

EDIT: testé la méthode de @Freedom

effet avec sinh ça aide beaucoup.
comme sinh(x)=exex2sinh(x) = \frac{e^x -e^{-x}}{2}
on a x2sinh(x)ex=0x\cdot 2\cdot sinh(x) -e^{x} = 0

On a donc une courbe qui ressemble à x2x^2 avec 2xsinh(x)2xsinh(x) et on fait encore ex-e^x ce qui déplace le graph vers le haut (donc le dessin de ma fonction vers le bas) je me retrouve avec deux solutions.

Édité par d3m0t3p

conseil: le thé est meilleur avec un zeste de citron

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Cette réponse a aidé l’auteur du sujet

L’étude de la dérivée te permet de savoir comment varie une fonction régulière. Si tu montres qu’avant une valeur elle est strictement positive et qu’ensuite elle décroit strictement jusqu’à une certaine valeur où est est négative, tu as montré qu’il n’y a qu’une solution sur cet interval.

As-tu tracé la courbe sur une calculatrice ou un ordinateur ? Ce n’est pas une preuve, mais ca peut t’aider à voir où aller.

PS: C’est équivalent à ce que je propose, l’utilisation des fonctions usuelles permet d’éviter d’utiliser la dérivée pour étudier les variations (puisque déjà connues).

Édité par Freedom

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