analyse nombre de solution à une équation

salut,
je révisais et je suis tombé sur cette question :
l’équation $\ x(e^x -e^{-x}) -e^x = 0$

• n’a pas de solution dans l’intervalle [0, $+∞$[
• possède exactement une solution réelle
• n’a pas de solution dans l’intervalle ]$-∞$, 0[
• possède au moins deux solutions réelles

J’ai commencé en me disant une solution existe pour un polynôme de degré 1, au plus deux solutions pour un polynômes de degré deux etc, mais on peut jamais certifier qu’il existera n solution pour un polynôme de degré > n j’ai donc abandonné cette piste

j’ai essayé de le factoriser, de voir si $x=0$ était solution, mais je ne trouve pas grand chose qui me permet d’affirmer de manière sûre que la dernière proposition est la bonne.

Comment il faut que je m’y prenne ?

Merci d’avance, bonnes fêtes et bonne année

En effet polynôme n’est pas le terme correcte.
Je connais la dérivée, mais ici ça ne semble pas m’avancer.

1. $xe^x - xe^{-x} -e^x$
2. $xe^x + xe^{-x} -e^{-x}$
3. $xe^x + e^x−xe^{−x} + 2e^{−x}$

dans ma tête la dérivée permet juste d’étudier la vitesse de changement de la courbe, trouver un maximum, etc mais pas de trouver des solutions, comment utiliserais-tu la dérivée pour trouver le nombre de solution. même en comptant le nombre de points d’inflexion de la fonction, ça ne garantirait pas qu’il y a une solution entre les deux points d’inflexions (par exemple sinus penché de $\pi/4$ rad ). L’inverse serait vrai, n solutions implique que la fonction est sois constante soit à un n-1 point d’inflexion

EDIT: testé la méthode de @Freedom

effet avec sinh ça aide beaucoup.
comme $sinh(x) = \frac{e^x -e^{-x}}{2}$
on a $x\cdot 2\cdot sinh(x) -e^{x} = 0$

On a donc une courbe qui ressemble à $x^2$ avec $2xsinh(x)$ et on fait encore $-e^x$ ce qui déplace le graph vers le haut (donc le dessin de ma fonction vers le bas) je me retrouve avec deux solutions.