Irrationnalité de la limite d'une somme d'inverse de factiorelles

Comment la prouver ?

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Auteur du sujet

Bonjour,

J’ai un exercice de maths sur lequel je bloque. J’ai deux suites, et j’ai démontré qu’elles sont adjacentes. Je n’arrive pas à montrer l’irrationalité de leur limite. Je raisonne par l’absurde.

un=k=0n1k!u_n = \sum^{n}_{k=0} \frac{1}{k!}

vn=un+1nn!v_n = u_n + \frac{1}{n*n!}

Je pose l=ab,aZ,bNl= \frac{a}{b}, a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{N}*

Je bloque après avoir écrit que N*,unbavnb\forall \in \mathbb{N}\text{*}, u_n*b \leq a \leq v_n*b

J’aimerais montrer qu’à partir d’un certain rang, a est compris entre deux nombres non entiers dont la différence est inférieure à 1 strictement, mais je ne vois pas comment. Auriez-vous des pistes ?

Je vous remercie par avance pour vos réponses.

Bien cordialement,

florian6973

Édité par florian6973

"Easy is right. Begin right and you are easy. Continue easy and you are right. The right way to go easy Is to forget the right way And forget that the going is easy." Chuang Tzu

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Salut,

J’ai peur d’en dire trop, mais est-ce que tu saurais trouver un lien avec l’exponentielle ?

Tu peux aussi t’intéresser à ce qu’il se passe sur la somme pour certains entiers b particuliers et voir où ça te mène.

Édité par Aabu

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Auteur du sujet

Merci beaucoup pour votre réponse !

Effectivement, je n’y avais pas pensé, on a e=lim+une = lim_{+\infty} u_n d’après les développement limités (mais on ne les a pas encore étudiés en cours).

Je crois avoir trouvé la réponse en multipliant par (b1)!(b-1)! et en considérant ubu_b et vbv_b, en sachant que 2b2 \leq b (sinon ll est entier) puisque 2.5u22.5 \leq u_2 et v22.75v_2 \leq 2.75 si l’on prend la forme irréductible de la fraction.

Édité par florian6973

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